A propos de la relation d’exhaustivité de la limite discrète à la limite continue

user26143

A propos de la relation d’exhaustivité de la limite discrète à la limite continue


En mécanique quantique, la relation d’exhaustivité pour une base discrète et continue est

n | n⟩ ⟨n | | x⟩ ⟨x | d x = 1 = 1 (1) (2)

(1) n | n n | = 1 (2) | X X | X = 1

respectivement. La forme intégrale peut s’écrire

lim n n | X n ⟨X n | Δ x n = 1 (3)

(3) lim n n | X n X n | Δ X n = 1

tel que

⟨Ψ | ψ⟩ = ⟨Ψ | x⟩ ⟨x | ψ⟩ d x = lim n n ⟨Ψ | X n ⟨X n | ψ⟩ Δ x n (4)

(4) ψ | ψ = ψ | X X | ψ X = lim n n ψ | X n X n | ψ Δ X n

comme la définition de l’intégrale définie.

Ma question est, supposons que l’espace soit discret , Eq. (2) peut s’écrire

n | X n ⟨X n | = 1 (6)

(6) n | X n X n | = 1

Si j’approche la limite continue (2) d’une base discrète (6), comment la

Δ X n

dans Eq. (3) devrait apparaître?

Réponses


 WetSavannaAnimal aka Rod Vance

Pour ajouter un angle légèrement différent à la réponse sonore de PhotonicBoom , le lien entre les deux entités – somme discrète et intégrale – est le concept de mesure , pas de limite . Vous pouvez considérer votre somme comme une intégrale de Lebesgue si vous choisissez une mesure discrète pour la ligne réelle avec les « ancres » de la mesure à un ensemble dénombrable de « valeurs autorisées ». Les mesures discrètes et continues sont très analogues dans la mesure où elles ont toutes les deux les propriétés « Real MacCoy » des mesures: non-négativité, positivité et dénombrable (

σ

-) additivité. En fin de compte, cependant, les deux sont aussi différents que

0

et

1

, illustré de façon spectaculaire par l’argument de Cantor Slash: un quantique observable qui peut en principe donner n’importe quel nombre réel dans un intervalle comme mesure et un qui ne peut avoir que des valeurs discrètes car les mesures sont des bêtes très différentes.

En mécanique quantique, ou du moins dans tous les QM que j’ai vus (voir note de bas de page), on fait l’hypothèse d’un espace de Hilbert séparable ou d’un premier dénombrable pour l’espace d’état. Cela signifie, en effet, qu’il existe une base dénombrable pour l’espace des états: par exemple, l’état de l’oscillateur harmonique quantique peut être exprimé comme une superposition de l’ensemble dénombrable des états propres d’énergie. Donc, dans « QM normal », il y a toujours une transformation coordonnée qui transformera une relation d’intégralité intégrale en relation discrète, bien que, en même temps, vous changiez l’observable dont les états propres s’étendent sur l’espace d’état.

Note de bas de page: La séparabilité fait partie des axiomes de Wightman. Mais parfois, les théoriciens des champs quantiques abandonnent même cette hypothèse, bien que je comprenne qu’ils supposent toujours un sous-espace séparable contenant des champs physiques intégrés dans un espace d’état non séparable de champs potentiels .


 Constandinos Damalas

La forme intégrale n’est pas une manière alternative d’écrire la relation d’exhaustivité. La forme intégrale est la définition de la relation d’exhaustivité UNIQUEMENT lorsqu’une variable continue est impliquée.

Ce que vous avez inclus dans votre question, l’équation (2) ne montre comment calculer la relation d’exhaustivité que lorsque le nombre d’états est infini, c’est-à-dire que la configuration spatiale x peut être divisible à l’infini, donc une somme est inutile et l’intégration est la solution au problème.

Répondre à votre vraie question maintenant. Si l’espace est discret, il a une base discrète et (6) EST la définition du théorème de complétude.

user26143

Ma question est la suivante: existe-t-il un moyen d’approcher la limite continue (3) à partir de la base discrète (6) et vice versa? Si la réponse est oui, alors comment

Constandinos Damalas

La réponse est non. (3) n’est que la définition formelle, ou la dérivation si vous voulez, de (2). Par conséquent, seule la base discrète peut être utilisée.

 

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