Approche pour exprimer | n⟩⟨n | | n⟩⟨n | comme polynôme lorsque les valeurs propres sont dégénérées?

Anode

Approche pour exprimer | n⟩⟨n | | n⟩⟨n | comme polynôme lorsque les valeurs propres sont dégénérées?


Si

|n

sont des vecteurs propres d’un opérateur

UNE

alors

|nn|

peut être exprimé en termes de polynôme d’ordre fini

|nn|=mnUNEunemunenunem

si les valeurs propres

unen

de

UNE

sont distincts. Je cherche un moyen de faire une chose similaire mais avec des valeurs propres dégénérées.

Ma difficulté est que la dérivation de cette relation commence par considérer le produit

mn(UNEunem)je

puis utilise la relation

je=k|kk|

pour procéder au résultat ci-dessus. En commençant par le produit à l’exclusion du

n=m

terme est un peu gênant car il ne me permet pas de généraliser à un cas où deux valeurs propres sont identiques.

Dans le cas de valeurs propres dégénérées, puis-je exclure des termes supplémentaires du produit pour obtenir le résultat souhaité? Je cherche juste un indice sur la façon d’aborder cela, pas une solution élaborée.

Emilio Pisanty

N’est-ce pas plus une fonction rationnelle qu’un polynôme?

Réponses


 Qmechanic

Conseils:

  1. Supposons que

    H

    est un espace de Hilbert complexe.

  2. Supposons que

    UNE:HH

    est un opérateur normal

    1

    . Ensuite, une version du théorème spectral dit que

    UNE

    est diagonalisable orthonormalement.

  3. Soit

    (λje)jeje

    désignent l’ensemble des différentes valeurs propres de

    UNE

    avec des multiplicités correspondantes

    (mje)jeje

    .

  4. Soit

    Pje

    être l’opérateur de projection orthogonale sur le

    Ker(UNEλje1)H

    .

  5. Ensuite, la généralisation de la formule de OP se lit

    Pje = jje{je}UNEλjλjeλj.

1

Nous ignorerons les subtilités avec des opérateurs illimités , des domaines, des extensions autojointes , etc., dans cette réponse.

Qmécanicien ♦

En bref, il désigne l’espace propre pour la valeur propre

Anode

et la formule OP?

Qmécanicien ♦

OP: = affiche originale. Dans ce cas: vous.

Anode

Si, par exemple, j’avais lambda_2 = lambda_3 et i = 1..3 alors je multiplierais sur i = 1,2?

Qmécanicien ♦

La carte

 

#pour, |, approche, comme, dégénérées?, exprimer, Les, lorsque, n⟩⟨n, polynôme, propres, sont, valeurs

 

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