Autres processus que les extensions formelles de séries de puissance dans les calculs de la théorie quantique des champs

Je ne sais pas si cette question est trop naïve pour ce site, mais c’est parti. Dans les calculs QFT, il semble que tout soit enraciné dans des extensions formelles de séries de puissance, c’est-à-dire quels systèmes dynamiques les gens appellent des séries de Lindstedt . Cependant, d’après ce que j’ai entendu, cette série (pour le cas QFT) est connue pour avoir un rayon de convergence nul, et elle provoque des tonnes de difficultés en théorie. Ma question est la suivante: y a-t-il des approches qui commencent par un processus itératif qui a de meilleures chances de converger (par exemple, une itération à point fixe) et qui construisent des méthodes de calcul pour QFT à partir de là?

En d’autres termes, quand il y a tellement d’approches pour approximer la solution exacte, par exemple des équations d’onde non linéaire (et Klein-Gordon, Yang-Mills-Higgs-Dirac, etc.) au niveau classique, pourquoi choisissons-nous, quand nous quantifions, seulement quelques approches, telles que la série de puissance et la régularisation du réseau (cette dernière étant essentiellement une méthode de différence finie)? Notez qu’il est plus doux que de rendre QFT complètement rigoureux, il s’agit simplement de calculer les choses un peu différemment.

Le manque de convergence ne signifie pas qu’il n’y a rien de mathématiquement rigoureux que l’on puisse extraire de la théorie des perturbations. On peut utiliser la sommation Borel. En fait, la sommabilité borélique de la théorie des perturbations a été prouvée pour certains QFT:

1. par Eckmann-Magnen-Seneor pour P ( ϕ )
   

   les théories en 2D, voir cet article .

2. par Magnen-Seneor pour ϕ 4
   

   en 3D, voir cet article .

3. par Feldman-Magnen-Rivasseau-Seneor pour Gross-Neveu en 2D, voir cet article .

En fait, ces articles obtiennent de tels résultats en utilisant une alternative à la théorie de la perturbation ordinaire appelée expansion de cluster à plusieurs échelles (ou cellule de phase ou espace de phase). Ce dernier est basé sur des structures combinatoires qui imitent les diagrammes de Feynman. Cependant, ces expansions convergent à petit couplage.

Modifier selon le commentaire de Timur: le livre de Glimm et Jaffe est ce que vous voulez lire afin de comprendre pourquoi il faut des extensions de cluster. Il est excellent pour donner une vue d’ensemble: comment les QFT axiomatiques, euclidiens et constructifs s’emboîtent, ainsi qu’avec la théorie de la diffusion. Mais pour apprendre à faire une extension de cluster, le livre est obsolète. L’expansion du cluster expliquée dans GJ est la première inventée par Glimm, Jaffe et Spencer dans leur article Annals of Math. C’était le premier dans le contexte QFT et en tant que tel tout un exploit mathématique. Cependant, il y a eu de nombreuses améliorations et simplifications depuis lors (vers 1973). Si vous souhaitez en savoir plus sur les extensions de cluster en 2011, voici un chemin plus efficace:

• En savoir plus sur l’expansion Mayer pour le gaz polymère: une introduction rapide est dans le « Matériel supplémentaire » au bas de ma page Web de cours .
• En savoir plus sur l’expansion du cluster à une seule échelle, c’est-à-dire contrôler la limite de volume infinie lorsque des coupures UV et IR sont présentes: consultez l’article « Limites de clustering sur les corrélations à n points pour les systèmes de spin non bornés » sur la même page Web. Pour une version plus propre, voir la version publiée , mais celle-ci n’est pas librement accessible.
• Enfin le vrai McCoy: l’expansion du cluster multi-échelles où l’on essaie de faire tout ce qui précède et de supprimer les coupures. C’est un peu comme une limite de volume infinie dans l’espace des phases. Ici, il n’y a pas de référence facile. Tous les comptes rendus du sujet sont extrêmement difficiles à lire. J’ai l’intention d’écrire un article pédagogique à ce sujet dans les prochains mois. En attendant, vous pouvez essayer ce qui suit: le livre de Rivasseau « From Perturbative to Constructive Renormalization », le livre « Wavelets and Renormalization » de Battle, ainsi que cet article récent d’Unterberger.

Je pense que vous soulevez une question très importante, mais je pense que vous la rendez plus triviale qu’elle ne l’est. Le fait est que beaucoup de physiciens aimeraient avoir des extensions alternatives, mais il est très difficile d’en trouver une. Si vous avez des suggestions, n’hésitez pas à les mettre en avant.

L’extension standard commence par l’opérateur d’évolution temporelle U ( t , t 0 )

et un hamiltonien H ^

, qui forment ensemble l’équation de Schroedinger:

Intégrer cela donne,

et en itérant, c’est-à-dire en substituant cette expression à U

sur le côté droit, vous pouvez trouver une série de puissance formelle pour U

appelé la série de Dyson. Vous pouvez le modifier de certaines manières, comme diviser l’hamiltonien en une partie résoluble et perturbative, et en conséquence pour les opérateurs d’évolution temporelle. En fin de compte, vous finirez par exprimer les fonctions de corrélation que vous souhaitez en termes de série de fonctions de corrélation d’un modèle que vous connaissez . Et il est naturel que cette série soit une expansion en termes de constante de couplage de la partie perturbatrice.

Pouvez-vous contourner cette expansion? Eh bien, il existe parfois des approches non perturbatives. Vous avez, par exemple, le domaine des modèles exactement résolubles. Celles-ci reposent sur la présence de contraintes de symétrie sévères. Des exemples sont certaines théories de champ conformes 2D, dans lesquelles les fonctions de corrélation satisfont aux équations différentielles. Ces équations résultent de la restriction de l’algèbre d’opérateur (la présence de soi-disant états nuls) et des identités de Ward associées à l’algèbre de symétrie, qui inclut la structure conforme. Des trucs puissants.

D’autres exemples sont le Bethe ansatz et le algébrique Bethe ansatz. Autant que je sache, ces modèles sont basés sur la construction d’un ensemble complet d’états propres dans un espace Hilbert + extension, sans référence explicite à l’hamiltonien (ce qui signifie que l’hamiltonien est soumis à certaines restrictions, mais n’a pas besoin d’être explicitement connu). Il s’agit d’une technique très puissante et valable pour toute la plage de la constante de couplage. Mais exiger l’intégrabilité peut être tout à fait une contrainte.

AdS / CFT a également été mentionné, qui est une merveilleuse dualité de couplage faible / fort. Cela utilise l’idée que les fonctions de corrélation sont les mêmes pour deux théories apparemment différentes, qui diffèrent en dimensionnalité et en présence de gravité. Pour autant que je sache, la régularisation du réseau fonctionne également très bien.

Une extension alternative à la série Dyson qui me vient à l’esprit est l’ extension Magnus (voir aussi ici ). Le plus grand avantage de cette extension est qu’elle reste unitaire une fois que vous avez coupé la série quelque part. Mais est-ce une alternative solide ..?

À mon avis, une nouvelle expansion ou approche pourrait très bien être la prochaine meilleure chose depuis le pain tranché.

Vous posez essentiellement des questions sur les approches non perturbatives de QFT? La QCD sur réseau (basée sur l’échantillonnage de Monte-Carlo) et diverses dualités couplage fort / couplage faible (comme AdS / CFT ) viennent à l’esprit comme exemples les plus importants.

C’est plus un indice qu’une vraie réponse, bien sûr.

Je pense que vous vous épargnerez un temps considérable en consultant une référence comme: N. Nagaosa QFT dans Condensed Matter Physics, p. 78, section 3.4 . D’un point de vue informatique, « la théorie de la jauge du réseau et le problème de confinement » vous expliqueront pourquoi les physiciens, lorsqu’ils sont intéressés à introduire une coupure, en énergie ou en longueur, etc., devront déterminer combien de degrés infinis de liberté par rapport à l’original L’hamiltonien reste intact localement sur le réseau. Ce faisant, vous apprenez que la modélisation des fermions peut devenir problématique. C’est une lecture rapide et pourrait vous aider à peaufiner votre question avec un investissement en temps minimal.

Dans un certain sens, je comprends votre question en ce qui concerne les approches plus « mathématiquement précises » de QFT: en fin de compte, votre question implique des « définitions non perturbatives de QFT » sous une forme ou une autre – après tout, si vous peut utiliser un autre outil, pourquoi ne pas contourner le problème et définir votre théorie en fonction de la façon dont vous pouvez utiliser cet outil?

Dans ce sens, il y a beaucoup à dire, étant donné qu’il existe plusieurs façons différentes de définir un QFT (avec différents niveaux de « rigueur mathématique »):

• QFT axiomatique, QFT constructif, QFT algébrique et physique quantique locale (à la Haag);
• Intégration fonctionnelle (à la Feynman Path Integrals; White Noise Calculus; etc.) et approximations d’expansions (c’est là que votre question semble être formulée plus naturellement);
• Algèbres de vertex (VOA, algèbres de Borcherds) et CFT;
• Approches plus probabilistes, par exemple, l’équation de Schramm-Loewner;
• Algèbres chirales et de factorisation;
• TFT et théorie des catégories supérieures;
• etc.

Ainsi, l’utilisation d’extensions de séries n’est qu’un de ces efforts – et, dans ce sens, il existe d’autres séries qui sont pertinentes, par exemple, les extensions à grand N.

D’un autre côté, après avoir dit ce qui précède, il est vrai qu’il existe d’autres méthodes qui pourraient avoir quelque chose à ajouter à la façon habituelle de faire les choses – donner voix à votre préoccupation. Par exemple, il existe des moyens de discrétiser l’espace qui sont « compatibles » avec des objets géométriques différentiels (tels que n

-les formes et ainsi de suite; largement sous le nom de « Discrete Differential Geometry » ou « Geometric Discretization ») qui pourraient être utilisés dans les formulations de réseaux QFT et ne le sont pas actuellement. En outre, il existe toutes sortes de « schémas de différences finies » différents de discrétisation, en conservant différentes symétries du problème d’origine (diff eq), qui pourraient être utilisées pour éclairer certaines propriétés de la théorie, mais une discussion de cette question ne semble pas caractéristique de la communauté de réseau.

Ainsi, à la fin de la journée, Olaf a un point: si vous avez des suggestions, par tous les moyens, faites-les! 😉