Besoin d’aide avec les tenseurs

user41178

Besoin d’aide avec les tenseurs


Je suis dans un cours de relativité générale et je suis assez nouveau pour les tenseurs. Mon professeur dit qu’il laissera l’apprentissage de la manipulation des tenseurs jusqu’à notre lecture (car il y a une section dans le livre qui le décrit, à savoir le livre de Carroll) mais je suis toujours confus à propos de quelques choses. Voici un problème que je viens de résoudre, mais je voudrais avoir plus de détails sur ce qui se passe.

Le problème dit: « Pour un groupe de particules se déplaçant toutes avec la même vitesse,

β~=βe~X

comme vu dans un référentiel inertiel S avec une densité de repos de

ρ0

, calculez le tenseur énergie-contrainte. « 

Encore une fois, j’ai la solution et j’ai pu l’obtenir, mais je ne la comprends pas. Donc, pour un fluide parfait, le tenseur d’énergie de contrainte n’a qu’un seul composant, à savoir,

Tμν=(ρ0000000000000000)

La vitesse 4 d’une trame intertiale se déplaçant avec la vitesse

β~

est donné par:

Uμ=(γγβ00)

Donc, dans la solution, il dit: « En se transformant en un cadre se déplaçant dans la direction x avec la vitesse

β

, nous trouvons les composants non nuls. « 

Donc, pour obtenir la solution qu’ils fournissent, j’ai déterminé, uniquement par manipulation mathématique, que je dois faire ce qui suit (je ne pense pas que ma notation soit correcte):

Première écriture:

UμUν=(γ2γ2β00γ2βγ2β20000000000)

Ensuite, j’ai fait ceci:

TμνUμUμ=(γ2ρ0γ2ρ0β00γ2ρ0βγ2ρ0β20000000000)


quelle est la réponse.
Mais pourquoi cela représente-t-il une transformation du cadre mobile? De plus, je pense qu’il peut aussi y avoir quelque chose avec le signe de

β

en mouvement

β

par rapport au cadre de repos des particules. De plus, je ne suis pas sûr que mon utilisation de

est correct. Je n’ai fait que multiplier la matrice

UμUν

avec

Tμν

. Toute aide serait appréciée!

hébétudineux

Si le cadre se déplace avec

Constantine Black

Salut. Pour un fluide parfait, le tenseur énergie-contrainte est

Hurkyl

Il peut (ou non) aider à considérer la transposition métrique

Réponses


 Zhengyan Shi

Votre méthode ici est incorrecte et vos calculs sont un peu décalés (même si vous avez obtenu la bonne réponse). Passons donc à la procédure correcte.

Pour tout tenseur arbitraire dans un espace-temps plat (nous vivons donc toujours en relativité restreinte), la loi de transformation peut être décrite par l’équation suivante:

Tμν=TμνΛμμΛνν


Où le

Λ

s représentent les transformations de Lorentz du cadre d’origine (non amorcé) au cadre vers lequel nous nous transformons (le cadre apprêté). Alors

Tμν

sont les composants du tenseur d’énergie de contrainte dans le cadre non amorcé, tandis que

Tμν

sont les composants correspondants dans le cadre apprêté.

Maintenant que vous avez exprimé le tenseur énergie-contrainte sous sa forme matricielle, je vais faire de même. La forme matricielle de l’équation de transformation est:

T=ΛTΛT


Λ

est les représentations matricielles de la transformation de Lorentz et

ΛT

est la transposition (échange de lignes et de colonnes) de

Λ

.

Pour un coup de pouce dans le

X

direction avec vitesse

β

(votre cas), le

Λ

la matrice ressemble à ceci:

Λ=(γγβ00γβγ0000000000)


La transposition est en fait la même:

ΛT=(γγβ00γβγ0000000000)


On peut donc calculer

T

:

T=(γγβ00γβγ0000000000)(ρ0000000000000000)(γγβ00γβγ0000000000)=(γ2ρ0γ2ρ0β00γ2ρ0βγ2ρ0β20000000000)

Surprise! J’ai utilisé une méthode différente mais j’ai obtenu la même réponse. Alors, quelle est la coïncidence ici? Eh bien, la coïncidence est simplement due à la forme spéciale d’un tenseur fluide-énergie fluide parfait:

Tμν=ρ0UμUν


Ainsi, lorsque nous appliquons la transformation de Lorentz au tenseur, nous obtenons:

Tμν=TμνΛμμΛνν=ρ0UμΛμμUνΛνν


Ce qui équivaut à appliquer des transformations de Lorentz aux quatre vitesses

Uμ

et

Uν

séparément puis en prenant un produit tensoriel:

Tμν=ρ0UμUν


Sous forme tensorielle, cela équivaut à:

T=ρ0UU

Votre utilisation du produit tensoriel était donc incorrecte. Si nous effectuons le calcul de cette façon, nous obtenons:

U=(γγβ00)


On peut donc calculer

T

:

Tμν=ρ0UμUν=ρ0(γ2γ2β00γ2βγ2β20000000000)

J’espère que cela clarifie votre confusion!

user41178

Wow merci beaucoup! Cela dissipe parfaitement ma confusion!

 

avec, Besoin, d’aide, Les, tenseurs

 

google

Laisser un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *