Calcul des modes aux limites dans la chaîne de Kitaev

Arnab Barman Ray

Calcul des modes aux limites dans la chaîne de Kitaev


Dans la section 2 de l’article, «Fermions Majorana non appariées dans les fils quantiques», équation (14), la transformation suivante:

b=j(α+X+j+αXj)c2j1b« =j(α+« X+j+α« Xj)c2j

est censé mettre l’hamiltonien original sous la forme:

Hcunenonjecunel=je2m=1Nϵmbmbm« 

Je suis vraiment confus si la transformation des opérateurs Majorana d’origine est limitée uniquement à deux spécifiques

bm

et

bm« 

, de sorte que la matrice donnée dans l’équation (12) dans le document a l’un de ses

ϵm

comme zéro et l’hamiltonien correspondant ne comprend pas

bm

et

bm« 

, donnant naissance à des modes Majorana non couplés.

Ou la transformation est-elle liée à la diagonalisation de la matrice A, qui est bizarre parce que

Hcunenonjecunel

n’est certainement pas diagonal. (J’ai vu d’autres articles ici sur stackexchange où certaines personnes ont dit que nous devons diagonaliser A pour obtenir les conditions sur

X±

.)

Quelqu’un pourrait-il m’aider sur la façon de procéder sur quel front pour obtenir les conditions sur

X±

?

Je calcule sur ma première compréhension mais je ne sais pas si c’est la bonne façon. Donc, si cela est clarifié, ce sera d’une grande aide et vous fera gagner du temps.

Le document peut être trouvé ici .

udrv

Techniquement la transformation

Arnab Barman Ray

Si A est la matrice et Au = 0, alors on peut dire que les opérateurs diagonaux

udrv

Pas assez.

Arnab Barman Ray

Mais le W qui diagonise le bloc A ne peut pas avoir ses vecteurs propres comme les lignes comme il est dit dans l’article, car alors W devrait se complexifier (c’est parce que les vecteurs propres eux-mêmes sont complexes en raison du fait que les valeurs propres d’un symétrie asymétrique matrice sont purement imaginaires), tandis que dans le papier. b ‘et b’ ‘sont de véritables combinaisons des opérateurs majorana. Je pense qu’il pourrait y avoir eu une faute de frappe ici.

udrv

J’ai dû mettre la réponse dans une réponse, car c’était trop long pour un commentaire.

Réponses


 udrv

Pour

ϵ=0

,

W

peut contenir de vrais vecteurs propres de

UNE

, qui peuvent être arrangés pour être réels (et seulement ceux-ci sont importants pour les modes limites). Mais en général pour

UNE=UNE=UNET

les rangées de

W

contiennent des parties réelles et imaginaires des vecteurs propres complexes de

UNE

(ou vecteurs propres dégénérés de

UNE2=UNEUNE0

).

Dire

UNEuj=jeϵjujUNEuj=jeϵjujujuk=ujuk=0pourjk,ujuj=0,ujuj=1


et laisse

ξj=(uj+uj)/2,ηj=je(ujuj)/2


être leurs parties réelles et imaginaires, satisfaisant

UNEξj=ϵjηjUNEηj=+ϵjξj


L’orthogonalité des vecteurs propres permet de vérifier que les parties réelles et imaginaires sont également orthogonales,

ξjTξk=ηjTηk=12δjk,ξjTξj+ηjTηj=1ξjTηk=ξjTηk=0


Ensuite, les rangées de

W

sont (

j1

)

W2j1=ηjTW2j=ξjT


Cela donne en effet

W2j1UNEW2k1T=ηjTUNEηk=ηjT(ϵkξk)=0W2jUNEW2kT=ξjTUNEξk=ξjT(ϵkηk)=0W2j1UNEW2kT=ηjTUNEξk=ηjT(ϵkηk)=ϵkδjkW2jUNEW2k1T=ξjTUNEηk=ξjT(ϵkξk)=ϵkδjk

Le

b

et

b« 

les opérateurs lisent alors

bj=k=1Nηj,kckbj« =k=1Nξj,kck


qui peut être ré-exprimé en termes de vecteurs propres complexes

uj

. Il y a toujours le problème des eq. (14) pour

b

,

b« 

du mode zéro, qui utilise un seul des ensembles

{c2j}

ou

{c2j1}

. Je pense que c’est une question de commodité (symétrie?) Car dans ce cas les 2 vecteurs propres sont dégénérés et peuvent être redéfinis au besoin.

udrv

Merci, je l’ai eu et je l’ai réparé. J’ai dû changer la notation deux fois pour éviter les conflits avec la notation papier, probablement gâché dans le processus.

udrv

Voir p. 8, paragraphe autour de l’équation (15), effets de longueur finie. Essayez de varier

udrv

Ok, ma façon la plus simple de vérifier l’équation (14) et la discussion qui suit: 1) Faire la transformation (5) sur hamiltonien (4), en utilisant

udrv

3) Vérifiez que

udrv

Je viens de réaliser que j’ai changé d’indexation par rapport au papier, encore une fois. Utilisez

 

#de, #la, aux, Calcul, chaîne, dans, des, Kitaev, limites, modes

 

google

Laisser un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *