Calcul du moment d’inertie pour un cylindre?

somil

Calcul du moment d’inertie pour un cylindre?


J’essaie de calculer le moment d’inertie d’un cylindre autour d’un axe longitudinal, mais je ne sais pas où je me suis trompé avec mon approche.

je = r 2 m

je = r 2 m

En supposant une densité constante:

M V = d m v

M V = m v

Ensuite, pour trouver

v

J’ai trouvé le volume en additionnant tous les accords à la base du cylindre de R à -R et en multipliant la longueur du cylindre. (Où R

R

est le rayon et r

r

est la distance de l’axe de rotation, que j’ai gardée à l’origine.

V = 2 L R 2 r 2 r

V = 2 L R 2 r 2 r

Donc,

v = 2 L R 2 r 2 r

v = 2 L R 2 r 2 r

Et je sais que le volume du cylindre est:

V = π R 2 L

V = π R 2 L

Donc alors…

m = 2 M π R 2 R 2 r 2

m = 2 M π R 2 R 2 r 2

En substituant la définition originale du moment d’inertie de

R

à

R

Donne moi:

2 M π R 2 R R r 2 R 2 r 2 r = 1 4 M R 2

2 M π R 2 R R r 2 R 2 r 2 r = 1 4 M R 2

Cependant, le moment d’inertie que j’ai recherché dans un manuel de physique est exactement deux fois supérieur (le facteur est

1 / 2 ,

ne pas

1 / 4

). J’ai également résolu le moment d’inertie d’une sphère et obtenu exactement la moitié de la réponse acceptée. J’ai examiné cela à fond et je ne sais pas où je me suis trompé, mais je soupçonne que cela a quelque chose à voir avec mes limites d’intégration?

Phoenix87

que diriez-vous

Brian Moths

Le moment d’inertie d’un de vos accords de masse

somil

@ Phoenix87 Yup, c’est une excellente solution (et probablement une meilleure!) Mais je cherchais juste la faille dans ma solution.

somil

@NowIGetToLearnWhatAHeadIs Peut-être que je manque quelque chose, mais quand je résous pour dv, je résout pour le volume de points pour chaque changement de point dans r. Cela n’a rien à voir avec l’inertie rotationnelle, corrigez-moi si je me trompe

Réponses


 Brian Moths

Quel est le problème avec votre réponse?

Je vais écrire une réponse expliquant pourquoi votre solution est fausse, car je ne pense pas qu’un commentaire suffirait. Tout d’abord, je vais faire un changement de variable. Vous avez utilisé la variable

r

pour se référer à la distance de l’axe du cylindre. Je me sens plus à l’aise avec le symbole

X

pour cette variable, c’est donc ce que je vais faire. La raison pour laquelle je me sens plus à l’aise avec ce choix est que vous ne vous intégrez pas sur des coquilles cylindriques de rayon

r

; vous intégrez sur des surfaces de constante

X

.

Quoi qu’il en soit, regardons ce que vous avez fait. Votre équation

V = 2 L R 2 x 2 X

V = 2 L R 2 X 2 X

est correct. C’est super jusqu’ici.

La prochaine équation que je veux regarder est

m = 2 M π R 2 R 2 x 2 x .

m = 2 M π R 2 R 2 X 2 X .

Remarquez que vous avez oublié le

X

dans votre question d’origine, mais c’est évident que c’est ce que vous vouliez dire. Voyons maintenant ce que signifie cette équation. Cela signifie que la masse à la surface de constante

X

de largeur

X

est le

m

donnée par l’équation. Cette équation est également très bien, mais elle n’est pas aussi utile que vous le pensez.

J’ai un problème avec votre prochaine équation. Votre prochaine équation est

je = 2 M π R 2 X 2 R 2 x 2 x .

je = 2 M π R 2 X 2 R 2 X 2 X .

La raison pour laquelle j’ai un problème avec cette équation est qu’elle dit vraiment

je = X 2 m / M

, mais bien sûr, nous savons que ce devrait être un

r

au lieu d’un

X

:

je = r 2 m / M

. La raison pour laquelle cette distinction est importante est que vos surfaces de constante

X

ne sont pas des surfaces de constante

r

. Maintenant, nous ne pouvons pas résoudre ce problème en écrivant simplement

je = 2 M π R 2 r 2 R 2 x 2 X

je = 2 M π R 2 r 2 R 2 X 2 X

parce que chaque surface de constante

X

n’est pas bien défini

r

: la partie de la surface proche de la surface du cylindre a

r = R

, mais la partie au milieu de la surface a

r = X

. Donc l’intégrale ci-dessus n’a pas de sens.

Bonne façon d’obtenir la réponse

Il y a alors deux façons de trouver la réponse. Une façon consiste simplement à écrire l’intégrale en coordonnées rectangulaires et l’autre consiste à utiliser le théorème de l’axe parallèle pour trouver le moment d’inertie de chaque surface de constante

X

et l’intégration sur constante

X

.

Premier moyen d’obtenir la réponse

Regardons d’abord la première méthode. Nous obtenons l’expression suivante pour le moment d’inertie:

je = M π R 2 R R R 2 x 2 R 2 x 2 ( x 2 + y 2 ) d y X

je = M π R 2 R R R 2 X 2 R 2 X 2 ( X 2 + y 2 ) y X

En faisant l’intégrale intérieure, vous obtenez

je