Comment ces billes sont-elles accélérées?

kjo

Comment ces billes sont-elles accélérées?


Cette question fait référence à un effet visible à partir d’environ 5m45s dans cette vidéo 1 . (La question n’aura pas de sens si l’on n’a pas regardé le clip pour la première fois.)


L’observation

Vers 5m45s, nous voyons 5 billes commencer à se déplacer, file par file, en ligne droite, inclinée de droite à gauche, à un angle d’environ 45º. Au cours de cette traversée diagonale, les billes semblent presque flotter dans les airs. Leur mouvement ne ressemble pas à ce que l’on pourrait attendre de billes tombant sous gravité. (D’une part, la trajectoire est rectiligne, pas parabolique.)

C’est plutôt cool, mais c’est ce qui se passe ensuite qui me laisse vraiment perplexe.

Une fois que chaque marbre atteint la pièce horizontale en forme de canal au bas de sa traversée diagonale, il tire vers la gauche avec une vitesse beaucoup plus grande que ce à quoi je m’attendais. IOW, il y a un saut discontinu apparent dans l’énergie cinétique que j’ai du mal à expliquer.


La partie facile

OK, d’abord, voici l’explication du mouvement diagonal étrange: les billes se déplacent entre deux plaques transparentes rigides. Ces plaques sont positionnées les unes par rapport aux autres à une légère déviation angulaire par rapport à une configuration parallèle, de sorte qu’en toute position horizontale, elles ne peuvent pas rentrer en dessous d’une certaine position verticale: elles s’y coincent. Le lieu de tous ces points où le marbre vient s’insérer entre les plaques détermine la trajectoire diagonale observée dans la vidéo.


La partie pas si facile

Mais qu’en est-il du mouvement suivant le long du canal horizontal?

Soit

12mv2

être les énergies cinétiques, par exemple, du premier marbre juste avant qu’il ne touche le canal horizontal, et laissez

12mv+2

être son énergie cinétique peu de temps après que le marbre commence à se déplacer le long de ce canal.

Si lorsque j’ai vu cette séquence pour la première fois, la vidéo avait été arrêtée juste avant que la première bille commence à se déplacer le long du canal horizontal, je m’attendais à ce que

12mv+212mv2

, et donc

v+v

. 2

Mais cette attente naïve semble se tromper: il est certain Me semble

v+v

, et donc

12mv+212mv2

.

(Il est possible que ce que j’appelle un « canal horizontal » ne le soit pas, et que son extrémité la plus à gauche soit inférieure à sa plus à droite, mais tout effet dû à la gravité qu’une telle inclinaison pourrait avoir ne serait pas apparent juste au début du mouvement du marbre le long du canal. IOW, il ne pouvait pas expliquer le saut visible de

v

à

v+

. Il est également possible que les billes s’accélèrent grâce à une supercherie cachée, mais cela serait très contraire au style et à l’esprit de ces vidéos éducatives.)

Le seul candidat pour une explication que je peux trouver est que pendant la traversée diagonale entre les plaques transparentes, chaque marbre prend (en quelque sorte) une grande quantité de mouvement angulaire. IOW, il devient « accéléré », pour ainsi dire. Une fois qu’il touche le canal horizontal, le frottement entre les deux entraîne la conversion d’une partie de cet élan angulaire élevé en un roulement rapide vers la gauche par le marbre.

Une objection à cette hypothèse est qu’un marbre lisse et léger est plus susceptible de dissiper la majeure partie de son élan angulaire par friction de glissement, en tournant sur place .

Mais mis à part cette objection, comment exactement le marbre prendrait-il autant de mouvement angulaire pendant la traversée diagonale?

Sinon, existe-t-il une autre explication au saut apparent de l’énergie cinétique?


1 La vidéo est une collection de courts extraits de l’émission télévisée éducative japonaise Pitagora Suitchi (ピ タ ゴ ラ ス イ ッ チ ou ピ タ ゴ ラ 装置), ce qui signifie littéralement « appareil (s) de Pythagore ». (Aux États-Unis, ces engins sont généralement appelés « machines Rube Goldberg ».) Le phénomène qui a motivé cette question se produit dans le clip qui commence à environ 5 min 35 s. FWIW, ce clip est intitulé « 5 billes » (5 つ の ビ ー 玉), et il date de 2003. Tous ces clips ont été produits par le groupe de Satō Masahiko à l’Université Keiō .

2 Ici, j’utilise

v

et

v+

pour représenter des « vitesses » scalaires plutôt que des « vitesses » vectorielles.

kjo

Je suis étonné que même après que l’on ait mis autant d’efforts que moi pour écrire cette question, le premier vote qu’il obtient est un downvote … Je ne comprends vraiment pas ce que vous avez.

Kyle Kanos

J’ai rétrogradé parce que vous vous êtes lié à une vidéo de plus de 9 minutes et avez dit que la question n’aurait pas de sens sans la regarder (vous avez probablement raison, j’ai arrêté de lire après quelques phrases de plus). Ce serait beaucoup mieux si vous pouviez rendre ce contenu autonome (c’est-à-dire, pas besoin de regarder la vidéo).

kjo

Vous n’avez pas lu ce que j’ai écrit. J’ai donné l’heure exacte où se déroule le phénomène dont je parle. C’est insignifiant de repérer la vidéo jusqu’à ce point, et le phénomène en question ne prend que quelques secondes. De plus, j’ai donné des détails supplémentaires dans une note de bas de page. Vous n’avez pas pris la peine de lire et de comprendre tout cela, et vous avez simplement décidé de voter contre quelqu’un. Juste comme ça. Sensationnel. Honte à toi.

Samuel Weir

Ne vous inquiétez pas, kjo. Je vous ai voté parce que c’est une question intéressante. Votre lien vers la vidéo ne me pose aucun problème car, comme vous l’avez dit, vous avez spécifié l’index de temps à regarder. Cependant, cela aiderait à garder la question plus courte et plus ciblée car beaucoup de gens ne voudront pas lire une longue description comme celle ci-dessus.

Kyle Kanos

Si vous voulez essayer de me faire honte, n’hésitez pas. Même avec un horodatage, dire à quelqu’un que cela n’aurait aucun sens sans regarder une partie de la vidéo ne fournit aucune sorte de question utile ou bonne dans mes livres.

Réponses


 kjo

OK, je comprends.

Ce que je devais réaliser, c’est que si les billes avaient roulé sur un plan incliné normal avec la même baisse verticale, leur vitesse le long du canal horizontal serait comparable à ce qui est vu dans la vidéo. IOW, l’énergie cinétique à la fin est cohérente avec l’énergie potentielle au début.

Ce qui a rendu le mouvement dans la vidéo déroutant pour moi, c’est que pendant la traversée diagonale, une fraction beaucoup plus importante de l’énergie potentielle initiale du marbre est convertie en énergie cinétique de rotation, si on la compare au cas plus familier d’un marbre roulant sur une pente, dans dont seulement 2/7 de l’énergie potentielle va dans l’énergie cinétique de rotation, le reste va dans l’énergie cinétique linéaire. C’est pourquoi, dans la vidéo, le mouvement linéaire pendant la traversée diagonale semble si anormalement lent.


Pour être juste envers moi-même, comme je l’ai dit dans mon article d’origine, j’ai émis l’hypothèse que les billes avaient probablement pris une vitesse angulaire substantielle au moment où elles ont touché le canal horizontal.

Bon nombre des commentaires l’ont essentiellement répété, ce que je savais déjà en quelque sorte.

Ma question était en fait de demander pourquoi ce gain de vitesse angulaire.

L’expérience de réflexion suivante a finalement clarifié la situation pour moi.

Imaginez d’abord une sphère

S

de rayon

R

et un cylindre

C

de rayon

r<R

et longueur

L>2R

. IOW, le cylindre

C

est à la fois plus maigre et plus long que la sphère

S

.

Imaginez maintenant le solide rigide

S

obtenu en superposant

C

et

S

de sorte que leurs centres de masse coïncident. IOW,

S

est similaire à une sphère de rayon

R

, mais il a quelques bits cylindriques qui dépassent de manière antipodale le long de l’un de ses axes.

Imaginez enfin deux rails rigides parallèles, suffisamment éloignés pour que les mèches cylindriques de

S

peut reposer sur eux, et

S

peut être roulé le long des deux rails tout en étant suspendu, comme à l’endroit, entre eux.

L’ensemble de la configuration devrait ressembler à ceci:

Graphiques Mathematica

Si les deux rails sont inclinés d’un certain angle, disons

0<θ<π/4

, de sorte qu’ils décrivent un plan incliné, alors

S

roulera en descente sur les rails, à mesure que son énergie potentielle sera convertie en énergie cinétique.

Hypothèse clé: tout roulement se produit sans glissement.

Soit

KEl(t)

et

KEr(t)

être les énergies cinétiques linéaires et rotationnelles de

S

comme il roule sur les rails inclinés.

La fraction de l’énergie cinétique totale provenant du mouvement linéaire est d’environ 1

KEl(t)KEl(t)+KEr(t)12m(rω(t))212m(rω(t))2+15m(Rω(t))2=5(rR)25(rR)2+2.

… où

m

et

ω(t)

sont la masse et la vitesse angulaire de

S

, respectivement.

De même, la fraction de l’énergie cinétique totale provenant du mouvement de rotation est d’environ

KEr(t)KEl(t)+KEr(t)25(rR)2+2.

IOW, pour un fixe

R

, les contributions relatives des mouvements linéaires et rotationnels à la cinétique totale approchent rapidement de 0% et 100%, respectivement, comme

r0

.

Le phénomène présenté dans la vidéo peut être considéré comme le cas limite où

r0

. Les points de contact entre les billes et les plaques claires jouent le rôle de

S

‘s deux bits cylindriques roulant sur les rails inclinés.


BTW, je dois dire que je pense que ce segment vidéo est la plus jolie démonstration dont je me souvienne avoir vu le principe de la conservation de l’énergie.


1 L’expression de

KEr

ci-dessus est en fait l’énergie cinétique de rotation pour la sphère d’origine

S

; cette approximation devient meilleure lorsque

r/R

devient plus petit.

Gert

Ce n’est vraiment pas vraiment une réponse à votre question, au sens SE du terme , plutôt un long commentaire. Vous n’expliquez pas, par exemple, comment lorsque les billes roulent sur les rails divergents, l’énergie de translation est convertie en énergie de rotation. Ou comment cette énergie de rotation acquise provoque la ré-accélération des billes dans la prochaine étape de leurs voyages.

 

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