Comment comprendre les permutations de particules en mécanique quantique?

user1620696

Comment comprendre les permutations de particules en mécanique quantique?


J’étudie des particules identiques en mécanique quantique et j’ai du mal à comprendre l’idée de permutations de particules d’un point de vue mathématique.

D’un point de vue intuitif, c’est assez simple: nous avons deux particules identiques et nous les étiquetons arbitrairement comme

1,2

. Permuter les particules les signifie permuter les étiquettes, de sorte que la particule une fois étiquetée

1

a maintenant

2

et la particule une fois étiquetée

2

est maintenant

1

.

Maintenant, mathématiquement, les choses sont plus compliquées. Si la description de chaque particule est donnée seule par l’espace d’ état

E

, il semble au premier abord que pour le système à deux particules, l’espace d’état doit être

EE

.

Je sais que plus tard , nous voyons qu’il est un sous – espace de cela, mais juste pour faire mon point clair, ce qui est important est, il semble que le premier

E

qui apparaît est pour la particule

1

et le second

E

qui apparaît est pour la particule

2

.

Maintenant, je lis le livre de Cohen et à ce sujet, l’auteur déclare ce qui suit:

Considérons un système composé de deux particules de même spin

s

. Ici, il n’est pas nécessaire que ces deux particules soient identiques: il suffit que leurs espaces d’état individuels soient isomorphes. Par conséquent, pour éviter les problèmes qui surviennent lorsque les deux particules sont identiques, nous supposerons qu’elles ne le sont pas: les nombres (1) et (2) avec lesquels elles sont étiquetées indiquent leur nature. Par exemple, (1) désignera un proton et (2), un électron.

Nous choisissons une base,

{|uje}

, dans l’espace d’état

E(1)

de particule (1). Puisque les deux particules ont le même spin,

E(2)

est isomorphe à

E(1)

, et il peut être étendu sur la même base. En prenant le produit tensoriel, on construit, dans l’espace d’état

E

du système, la base:

{|1:uje;2:uj}

Puisque l’ordre des vecteurs n’a pas d’importance dans un produit tensoriel, nous avons

|2:uj;1:uje=|1:uje;2:uj.

Notez cependant que:

|1:uj;2:uje|1:uje;2:uj,si jej.

L’opérateur de permutation

P21

est alors défini comme l’opérateur linéaire dont l’action sur les vecteurs de base est donnée par:

P21|1:uje;2:uj=|2:uje;1:uj=|1:uj;2:uje.

Maintenant, je dois avouer que cela n’a aucun sens pour moi. Qu’est-ce que cette notation

|1:uje;2:uj

veux dire? Pour dire la particule

1

est à

|uje

et particule

2

est à

|uj

revient à dire que le système est à l’état

|uje|uj

. Mais je n’ai aucune idée de ce que signifie cette notation qu’il utilise.

Alors, comment comprendre ce morceau de texte que l’auteur dit? Comment comprendre sa notation et surtout comment

P21

est rigoureusement défini. Je ne comprends vraiment pas comment:

|1:uje;2:uj|1:uj;2:uje

est différent de

|uje|uj|uj|uje.

Alors, comment comprenons-nous cette notation et l’action de cet opérateur d’un point de vue mathématique?

DanielSank

Veuillez lire cet autre article de Physics SE (croyez-moi, c’est lié), ainsi que celui-ci .

Réponses


 ACuriousMind

Étiquetons clairement les espaces d’états comme

H1

et

H2

pour la première et la deuxième particule respectivement et désignent l’isomorphisme canonique envoyant un état dans

H1

de la première particule au même état exact de la deuxième particule par

ϕ:H1H2

. Notons en outre « l’isomorphisme canonique » du produit tensoriel comme

Fljep:H1H2H2H1,vwwv

.

Alors

|1:uje;2:uj

est l’élément

ujeujH1H2

et

|2:uj;1:uje

est son image

ujuje

sous

Fljep

en

H2H1

.

En revanche,

|1:uj;2:uje

est l’image sous la carte d’échange

P:H1H2H1H2,vwϕ1(w)ϕ(v).

Contrairement à

Fljep

, qui est une carte entre deux espaces différents (mais isomorphes),

P

est un automorphisme de

H1H2

. Il a des valeurs propres 1 et -1, dont les espaces propres sont les espaces des tenseurs symétriques et antisymétriques, respectivement.

 

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