Comment construire des champs à partir d’une représentation unitaire du groupe Poincaré?

amilton moreira

Comment construire des champs à partir d’une représentation unitaire du groupe Poincaré?


Je veux construire des champs à partir de la représentation unitaire du groupe Poincaré mais je ne sais pas comment. Dans le livre de Weinberg, il a proposé que l’hamiltonien soit d’un certain type et de là il a dérivé les champs.

Qmécanicien ♦

Question connexe par OP: physics.stackexchange.com/q/227711/2451

Réponses


 Nom YYY

Cette réponse explique comment construire exactement l’opérateur de champ pour qu’il représente l’état d’une particule. Si votre question porte sur le premier principe à partir duquel nous introduisons naturellement les opérateurs de champ, alors je vais réécrire une réponse.

Tout d’abord, lisez ma réponse sur cette question. Ici, j’ajouterai quelques détails techniques pour les cas les plus simples – des champs qui réalisent des représentations massives irréductibles du groupe Poincaré avec spin entier (les autres cas sont réalisés de manière analogique, mais plus difficile).

Comme cela a été affirmé dans la réponse liée, la base pour obtenir des équations d’onde relativistes (en principe, c’est exactement la façon de construire un champ d’onde relativiste) est que le sous-espace des représentations unitaires massives du groupe de Poincaré avec une masse non nulle

m

et tourner

s

se caractérise par deux opérateurs Casimir,

P ^ μ P ^ μ = m 2 id , W ^ μ W ^ μ = m 2 s ( s + 1 ) id (1)

(1) P ^ μ P ^ μ = m 2 id , W ^ μ W ^ μ = m 2 s ( s + 1 ) id

Pour la représentation des champs de création / destruction

P ^ μ = je μ

, et le premier opérateur n’est que l’équation différentielle de Klein-Gordon:

( 2 + m 2 ) Φ ^ ± UNE = 0

( 2 + m 2 ) Φ ^ UNE ± = 0

Quant à la deuxième condition, la manière de la construire sous forme d’équation différentielle est plus difficile. Pour trouver le moyen le plus pratique d’introduire le besoin de rechercher les représentations irréductibles du groupe de Lorentz

( UNE / 2 , B / 2 )

, qui est réalisé par des spineurs complètement symétriques

ψ une 1 . . . une UNE b ˙ 1 . . . b ˙ B

. On peut montrer que l’opérateur de champ correspondant

Ψ ^ une 1 . . . une UNE b ˙ 1 . . . b ˙ B ±

avec

( UNE + B ) / 2 = s

réalise une représentation massive d’une particule du groupe Poincaré (dans un sens de

( 1 )

) si

( 2 + m 2 ) Ψ ^ ± une 1 . . . une UNE b ˙ 1 . . . b ˙ B = 0 a b ˙ Ψ ^ ± a a 1 . . . une A 1 b ˙