Comment dériver le courant conservé de l’équation de Klein Gordon?

Qmechanic

Comment dériver le courant conservé de l’équation de Klein Gordon?


De façon similaire au courant de probabilité en mécanique quantique non relativiste, il existe un courant conservé pour l’ équation de Klein Gordon , cependant différent. J’essaie de calculer cela.

L’ équation KG se lit

( 2 + m 2 ) ψ .

( 2 + m 2 ) ψ .

De cela, je veux montrer que lorsque

ψ

satisfait l’équation KG, alors ce qui suit est également satisfait:

ψ 2 ψ ψ 2 ψ = 0.

ψ 2 ψ ψ 2 ψ = 0.

Ce qui impliquerait l’actuelle loi de conservation

μ [ ψ μ ψ ψ μ ψ ] = 0.

μ [ ψ μ ψ ψ μ ψ ] = 0.

Cependant, je n’arrive pas à trouver un moyen de me débarrasser du terme de masse en frappant simplement le complexe conjugué sur le côté gauche ou quelque chose comme ça.

Qu’est-ce que je rate?

Phoenix87

la masse est un paramètre réel, donc elle ne change pas lorsque vous prenez le cc de l’équation KG

Réponses


 glS

Considérons l’ équation KG pour un champ scalaire complexe

ϕ ( X ) C

( + m 2 ) ϕ ( x ) = 0 , (1)

(1) ( + m 2 ) ϕ ( X ) = 0 ,

et son conjugué complexe

( + m 2 ) ϕ ( x ) = 0. (2)

(2) ( + m 2 ) ϕ ( X ) = 0.

Multipliant à gauche (1) par

ϕ ( X )

et (2) par

ϕ ( X )

vous avez respectivement

ϕ ( x ) ( + m 2 ) ϕ ( x ) = 0 (3)

(3) ϕ ( X ) ( + m 2 ) ϕ ( X ) = 0

et

ϕ ( x ) ( + m 2 ) ϕ ( x ) = 0. (4)

(4) ϕ ( X ) ( + m 2 ) ϕ ( X ) = 0.

Soustraire maintenant (4) de (3) vous avez

ϕ ( x ) ( + m 2 ) ϕ ( x ) ϕ ( x ) ( + m 2 ) ϕ ( x ) = 0 (5)

(5) ϕ ( X ) ( + m 2 ) ϕ ( X ) ϕ ( X ) ( + m 2 ) ϕ ( X ) = 0

( ϕ ϕ ϕ ϕ ) + m 2 ( ϕ ϕ ϕ ϕ ) = 0 (5-1)

(5-1) ( ϕ ϕ ϕ ϕ ) + m 2 ( ϕ ϕ ϕ ϕ ) = 0

où, dans la dernière étape, nous avons utilisé le fait que

m R

et donc

ϕ ( X ) m = m ϕ ( X )

(et omis le

X

argument pour la paresse).

Parce que aussi

ϕ ( X ) , ϕ ( X ) C

, c’est-à-dire qu’ils ne sont que des nombres complexes (contrairement aux champs opérateurs dans QFT), vous avez

ϕ ( X ) ϕ ( X ) = ϕ ( X ) ϕ ( X )

et d’où la conclusion:

ϕ ϕ ϕ ϕ = 0 μ ( ϕ ( x ) μ ϕ ( x ) ϕ ( x ) μ ϕ ( x ) ) = 0 ,

ϕ ϕ ϕ ϕ = 0 μ ( ϕ ( X ) μ ϕ ( X ) ϕ ( X ) μ ϕ ( X ) ) = 0 ,

c’est à dire

μ J μ ( x ) = 0 , J μ ( x ) ϕ ( x ) μ ϕ ( x ) ϕ ( x ) μ ϕ ( x ) .

μ J μ ( X ) = 0 , J μ ( X ) ϕ ( X ) μ ϕ ( X ) ϕ ( X ) μ ϕ ( X ) .


Remarque: j’utilise la notation

2 μ μ ,

2 μ μ ,

et mon

ϕ (