Comment déterminer systématiquement les opérateurs d’échelle?

Dans les manuels, les opérateurs en échelle sont toujours définis, « et montrés pour » élever « l’état d’un système, mais ils ne sont jamais réellement dérivés.

Les trouve-t-on simplement par essais et erreurs? Ou existe-t-il une méthode / approche plus systématique pour les obtenir?

Tout d’abord, ne sous-estimez pas l’idée de «tâtonnements» comme explication valable. Pour chaque résultat poli qui fait que les choses semblent bien se mettre en place, il y a probablement des dizaines d’autres tentatives de résultats dans les cahiers (ou les poubelles) du chercheur qui l’a publié et probablement des milliers d’essais similaires par d’autres chercheurs qui ne l’ont pas fait lancez-vous sur le sujet!

Voici une méthode que j’ai utilisée il y a quelques années lorsque je me posais des questions comme la vôtre. Je trouve au moins cela « épanouissant » et « systématique ». On commence par la notion de:

Un système quantique général dont les mesures varient d’une manière harmonique dans le temps

c’est-à-dire que nous nous demandons quels types d’oscillateur quantique pourraient exister dont les mesures varient périodiquement avec le temps. Cela pourrait être interprété comme la version quantique la plus générale possible d’un oscillateur harmonique, et cela conduit nécessairement à l’idée d’opérateur d’échelle.

Commençons donc par l’hamiltonien et les états propres énergétiques; ces derniers sont soit dénombrables L 2

-ensemble complet de vrais vecteurs propres de l’espace d’état de Hilbert quantique H

ou ils sont un spectre continu de kets dans l’ensemble des distributions tempérées sur H

: de toute façon, leur évolution temporelle est toujours de la forme ϕ ( ω , t ) = ϕ ω e – i , ω t

. Et nous pouvons également voir que le spectre énergétique doit être discret très simplement. Informellement, lorsque nous calculons la mesure moyenne ⟨ ψ | UNE ^ | ψ ⟩

de tout observable UNE ^

d’un état quantique général ψ

, nous obtenons une superposition de fréquences de battement ω 1 – ω 2

où ω 1 , ω 2

appartiennent à l’ensemble des fréquences « valides »: ces battements ne peuvent donc être considérés comme une fonction périodique qu’en cas de différence ω 1 – ω 2

est un nombre entier multiple de la plus petite différence de fréquence de base ω 0

(voir la note de bas de page pour une analyse plus approfondie).

Nous pouvons donc montrer que nous pouvons supposer que le spectre d’énergie est (1) discret et (2) peut être interprété comme régulièrement espacé: les états propres énergétiques doivent être un sous-ensemble de { E k = E 0 + k Δ E } ∞ k = 0

où E 0

est l’énergie de l’état fondamental et Δ E = ℏ ω 0

l’espacement d’énergie le plus petit possible. S’il y a des états propres d’énergie dans cet ensemble qui sont anéantis par tous les observables, alors qu’il en soit ainsi: nous les laissons simplement là par commodité et leur présence n’influencera pas les mesures. Nous verrons ci-dessous qu’en effet toutes les fréquences doivent être présentes et observables pour les systèmes quantiques importants. Alors l’hamiltonien dans la base discrète des états propres énergétiques est:

et toutes les observables valides peuvent être écrites sous forme de matrices carrées infiniment comptables dans cette base. Notez que nous n’avons même pas à assumer la séparabilité (base comptable pour H

) – cela supprime l’exigence d’un comportement harmonique temporel de nos mesures.

Par conséquent, tous les observables valides sont des matrices hermitiennes carrées infiniment dénombrables UNE ^ = ( a j , k ) j , k ∈ N

.

Pour l’oscillateur harmonique simple quantique de base, nous établissons maintenant l’exigence plus forte que nous devons avoir au moins un observable dont les mesures ont des statistiques qui varient sinusoïdalement (pas seulement périodiquement) avec le temps. Écriture d’un état quantique général comme:

pour que: