Comment diviser une représentation irréductible en ses sous-groupes

JeffDror

Comment diviser une représentation irréductible en ses sous-groupes


Dans les Grand Unified Theories (bien que je sois sûr qu’il s’agit d’un résultat général de théorie des groupes), les gens écrivent les représentations irréductibles d’un groupe (c.-à-d. Les bosons de jauge) en utilisant une somme de représentations irréductibles de son sous-groupe (c.-à-d. Les groupes ininterrompus après symétrie spontanée). rupture). Par exemple pour le

24

de

S U ( 5 )

nous écrivons,

24 = ( 8 , 1 , 0 ) + ( 1 , 3 , 0 ) + ( 1 , 1 , 0 ) + ( 3 , 2 , 5 3 ) + ( 3 ¯ , 2 , 5 3 )

24 = ( 8 , 1 , 0 ) + ( 1 , 3 , 0 ) + ( 1 , 1 , 0 ) + ( 3 , 2 , 5 3 ) + ( 3 ¯ , 2 , 5 3 )

où la notation est ici

( S U ( 3 ) , S U ( 2 ) , U ( 1 ) )

. Maintenant, je comprends comment obtenir les 3 premières parties car elles découlent simplement du fait que nous avons une combinaison de sous-groupes, mais comment dérivez-vous les deux dernières? Est-ce un résultat trivial ou existe-t-il une technique (par exemple à travers des diagrammes Dynkin) qui peut être utilisée pour extraire cela pour toute représentation?

Je recherche idéalement une technique pratique pour effectuer cette ventilation et moins une dérivation formelle de pourquoi cela fonctionne (à moins que la dérivation soit rapide, ce qui, selon mon expérience en théorie de groupe, l’est rarement).

Réponses


 Cosmas Zachos

Eh bien, Jeff, je suppose que vous n’êtes plus dans les bois, mais pour le lecteur de suivi étrange, résumons l’exercice … ignorons d’abord les affectations de valeurs propres hypercharge (les valeurs propres U (1), pas les dimensions, dans la 3ème entrée de cette caractérisation « physique », pas vraiment mathématique, car elle n’affecte pas les dimensionnalités ou les blocs).

Vous brisez l’adjoint de SU (5), donc les 24 matrices hermitiennes sans trace 5×5 à blockss se transforment uniformément sous les sous-espaces 3×3 et 2×2. L’adjoint des blocs 3×3, singulets sous les transformations 2×2 est le premier ( 8 , 1 ), les gluons. Symétriquement, l’adjoint du bloc 2×2 inférieur droit est l’adjoint ( 1 , 3 ) de SU (2) T s. Cela laisse encore 13 entrées indépendantes non couvertes.

La première est la diagonale de matrice diagonale sans trace évidente (2,2,2, -3-3), non normalisée, agissant comme l’identité dans les sous-espaces respectifs 3 et 2 dim, donc le singulet ( 1 , 1 ). Les 6 + 6 morceaux de conjugué hermitien restants sont respectivement les blocs hors diagonale 3×2 et 2×3, donc ( 3 , 2 ) et (

3 ¯

, 2 ).

Les valeurs d’hyper-charge Y sont dictées par des anomalies et des considérations physiques, tant que les valeurs des deux derniers blocs conjugués sont opposées. Voir la question connexe

 

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