Comment les physiciens utilisent-ils les solutions de l’équation de Yang-Baxter?

BBischof

Comment les physiciens utilisent-ils les solutions de l’équation de Yang-Baxter?


En tant que mathématicien travaillant dans le domaine de la représentation des groupes quantiques, je pense constamment aux solutions de l’ équation de Yang-Baxter . En particulier, les solutions trigonométriques.

Souvent, les subventions de recherche dans ce domaine citent cela comme une « application » de leur recherche. Cela étant dit, de nombreux mathématiciens (y compris moi-même) ne savent pas pourquoi ces solutions sont importantes. Je me demande donc:

Que font exactement les physiciens des solutions à l’équation de Yang-Baxter une fois qu’ils les ont?

jc

Je ne travaille pas vraiment dans cette partie du domaine, mais mon impression très vague est qu’ils sont principalement utiles pour trouver des solutions exactes pour les modèles de réseau pour les systèmes statistiques en 2D. Ces «modèles intégrables» peuvent ou non avoir une grande pertinence directe pour le monde réel, mais ils sont théoriquement intéressants, car la plupart des modèles mécaniques statistiques réalistes n’admettent aucune solution analytique. J’espère que quelqu’un d’autre viendra me corriger ou développer davantage.

BBischof

@jc Merci pour ces premières réflexions. 🙂

Réponses


 Anonymous

Ah. Enfin un sujet dont je sais quelque chose!

Il existe de nombreux endroits en physique où l’équation YB apparaît. Je peux penser à deux pour le moment.

une. Modèles de réseau exactement résolubles

b. Calcul quantique (QC)

C’est la deuxième application que je trouve la plus excitante, je vais donc me concentrer sur elle.

La référence canonique (IMHO) sur le lien entre l’équation YB et QC est le merveilleux article de Lomonaco et Kauffmann (LK04) http://arxiv.org/abs/quant-ph/0401090

Dans le calcul quantique topologique, l’espoir est de pouvoir effectuer des opérations unitaires sur des qubits en les déplaçant les uns autour des autres. Une arène typique est un gaz d’électrons 2D, où nos qubits sont les quasiparticules du système. En 2D, lorsque nous échangeons deux objets, nous obtenons un groupe de symétrie plus riche qu’en 3D, où nous obtenons le groupe de permutation dont les valeurs propres

± 1

correspondent respectivement au cas des bosons et des fermions. Cependant, en 2D, ce groupe de symétrie est élargi au groupe de tresses – on peut échanger deux objets en les déplaçant de telle sorte que leurs lignes de monde « tressent » l’une autour de l’autre. Ce tressage ne peut pas être éliminé en déformant les trajectoires, car nous n’avons pas la troisième dimension à utiliser.

Quoi qu’il en soit, pour abréger une longue histoire, l’YBE peut être représenté schématiquement comme une relation entre trois particules en cours d’échange (voir la figure 1 à la page 8 de la référence ci-dessus). Ce que LK04 montre alors, c’est que les solutions de YBE sont des matrices unitaires universelles pour le calcul quantique. De la même manière que tout circuit binaire classique peut être construit à partir de portes NAND, tout circuit quantique peut être construit à partir d’un ensemble de portes quantiques universelles.


 Douglas Rodrigues Silva

En physique mathématique, vous utilisez des solutions de l’équation de Yang Baxter dans de nombreux contextes. En particulier dans les solutions d’intégrabilité quantique de l’équation de Yang Baxter sont utilisées pour obtenir les relations de commutation de l’algèbre de Yang Baxter

R 12 ( u , v ) T 1 ( u ) T 2 ( v ) = T 2 ( v ) T 1 ( u ) R 12 ( u , v )

peut en outre inclure des termes de limite. le

R

dans le contexte de la mécanique statistique (réseaux bidimensionnels) est liée aux poids de Boltzmann, le

T s

sont associés à la matrice de monodromie, qui sont les produits des habitants

R

pour les modèles fondamentaux (modèles fondamentaux: dont les opérateurs laxistes sont exprimés en termes de

R

) cette première partie est la méthode de diffusion inverse quantique la deuxième partie que nous souhaitons diagonaliser

[ τ ( u ) , τ ( v ) ] = 0

(

τ

est la matrice de transfert) donc nous utilisons la première partie pour obtenir les états des équations de Bethe et Bethe c’est l’Algebraic Bethe Ansatz (L’important ici est l’existence de quelque chose appelé le pseudo-vide), le plus fondamental est le Yang Baxter l’équation c’est l’essence. Vous pouvez également avoir des modèles de champ quantique intégrable 1 + 1 et appliquer de telles techniques. Après l’algebraic bethe ansatz, vous devez calculer le produit interne et les fonctions de corrélation, c’est la partie qui a les problèmes les plus ouverts. Une autre méthode différente de l’algébrique bethe ansatz est la SOV-Sklyanin, qui est une méthode appliquée à la fois au quantum et au cas classique, elle résulte de la séparation des variables en mécanique classique, Sklyanin étend cela en rendant la méthode la plus générale, actuellement cette méthode se révèle plus favorable au calcul des fonctions de corrélation (travaux de G. Nicolli), dans SOV vous avez également l’équation yang baxter.

En ce qui concerne les expériences, les techniques expérimentales de piégeage et de refroidissement des atomes dans 1D ont fourni la réalisation de modèles résolus exactement en laboratoire.

Gaz Lieb-Liniger Bose:

T. Kinoshita et al Science 2004, PRL 2005, Nature 2006; A. van Amerongen et al PRL2008; T. Kitagawa et al PRL 2010; J. Armijo et al PRL 2010

Gaz Super Tonks-Girardeau:

E. Haller et al Science 2009

Gaz de Fermi spin-1/2 dégénéré:

Y. Liao et al Nature 2010; S. Jochim et al, Science 2011, PRL 2012: Préparation déterministe du système à quelques fermions; 2 fermions dans un piège harmonique 1D

Spin à deux composants Bose gas: J. van Druten et al arXiv: 1010.4545

Quenches est un sujet très actuel dans cette recherche qui fait suite à la journée du 26 juillet, ce sujet permettra de nouvelles expérimentations (je ne le sais pas). http://arxiv.org/abs/1407.7167

Dans le contexte classique, les solutions de l’équation de Yang Baxter classique, servent à calculer les algèbres de Poisson

{ T 1 ( u ) , T 2 ( v ) } = [ r 12 ( u , v ) , T 1 ( u ) T 2 ( v ) ]

(il y en a d’autres selon le modèle et les conditions aux limites que vous avez), vous avez un lien avec le formalisme hamiltonien.

 

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