Comment prouver que si la valeur attendue de A A dans n’importe quel état est réelle, alors A A est hermitien?

Doris

Comment prouver que si la valeur attendue de A A dans n’importe quel état est réelle, alors A A est hermitien?


Si la valeur d’attente de l’opérateur

UNE

dans n’importe quel état est réel, alors

UNE

est hermitien.

il y a une preuve inachevée:

( c 1 ψ 1 + c 2 ψ 2 ) A ( c 1 ψ 1 + c 2 ψ 2 ) d X

( c 1 ψ 1 + c 2 ψ 2 ) UNE ( c 1 ψ 1 + c 2 ψ 2 ) X

= | c 1 | 2 ψ 1 A ψ 1 x + | c 2 | 2 ψ 2 A ψ 2 x + c 1 c 2 ψ 1 A ψ 2 x + c 2 c 1 ψ 2 A ψ 1 X

= | c 1 | 2 ψ 1 UNE ψ 1 X + | c 2 | 2 ψ 2 UNE ψ 2 X + c 1 c 2 ψ 1 UNE ψ 2 X + c 2 c 1 ψ 2 UNE ψ 1 X

Mon professeur a dit cela parce que

c 1 c 2 ψ 1 A ψ 2 x + c 2 c 1 ψ 2 A ψ 1 X

c 1 c 2 ψ 1 UNE ψ 2 X + c 2 c 1 ψ 2 UNE ψ 1 X

est réel, alors nous pouvons conclure que

ψ 1 A ψ 2 x = ( ψ 2 A ψ 1 x )

ψ 1 UNE ψ 2 X = ( ψ 2 UNE ψ 1 X )

mais je ne comprends pas cette dernière étape, quelqu’un peut-il l’expliquer ou donner une autre preuve?

Réponses


 Valter Moretti

Voici une autre version de la même preuve.

Si

ψ | UNE ψ R

pour tous

ψ H

, puis

ψ | UNE ψ = ψ | UNE ψ

pour tous

ψ H

. Depuis

ψ | ϕ = ϕ | ψ

nous avons ça

ψ | UNE ψ = UNE ψ | ψ

C’est

1

ψ | UNE ψ = ψ | UNE ψ

, à savoir:

⟨Ψ | ( A A ) ψ⟩ = 0 ψ H . (1)

(1) ψ | ( UNE UNE ) ψ = 0 ψ H .

Considérez maintenant

ψ = ϕ + χ

, où

ϕ , χ H

sont arbitraires, obtenant:

⟨Φ + χ | ( A A