Comment puis-je calculer le temps de parcourir une distance avec l’équation de Tsiolkovsky?

NeomerArcana

Comment puis-je calculer le temps de parcourir une distance avec l’équation de Tsiolkovsky?


En utilisant l’équation de Tsiolkovsky, je sais quel est le changement de vitesse après avoir brûlé x quantité de carburant.

ΔV=Ve ˙log(m1m1m2)

m1

est ma masse de départ et

m2

est la quantité de masse que je brûle.

Et puis, sachant à quelle vitesse je brûle du carburant, je peux calculer l’accélération moyenne sur cette distance.

une=ΔV(m2b)

b

est la vitesse à laquelle je brûle du carburant dans ma fusée, comme la masse par seconde.

La première question est « est-ce que quelque chose ne va pas dans ce qui précède? »

Donc, sachant cela, je veux traverser une distance

et je veux lancer une brûlure de quantité

m2

pour me faire bouger, comment calculer le temps que cela prendra?

Ma connaissance des mathématiques et de la physique n’est pas excellente (j’apprends comme passe-temps). Jusqu’à présent, je sais que le temps sous accélération constante peut être trouvé avec:

t=2une

Mais le problème est que ma fusée n’est pas en accélération constante car la masse change constamment. Je suppose donc que cela ne fonctionnerait pas pour moi.

Ce que j’ai fait jusqu’à présent, c’est tenté de mettre le

t

dans l’équation de Tsiolkovsky:

ΔV=Ve ˙log(m1m1(m2 ˙t))

afin que je puisse inverser l’équation (est-ce que le mot correct est inversé?) comme ceci (merci wolfram):

t=m1eVe(eVe1)m2

et cela me donne le

t

il faudra franchir une distance

après avoir déclenché une brûlure de masse

m2

? Est-ce correct?

Réponses


 WetSavannaAnimal aka Rod Vance

Non, vous ne pouvez pas utiliser l’accélération moyenne de la manière que vous proposez, car l’équation

t=2sune

suppose une accélération constante.

Vous devez décrire le système avec une équation différentielle qui tient compte de la dynamique du système: puisque vous apprenez comme un passe-temps, vous n’en avez peut-être pas beaucoup vu. Votre dernier paragraphe est un raisonnement correct et est plus proche de ce dont vous avez besoin. La formulation correcte est « résoudre » ou « inverser » ou « réarranger » l’équation, mais « inverser » est assez évocateur et le plus proche de « inverser ».

Vous avez besoin d’informations supplémentaires pour résoudre votre problème: vous avez besoin d’un modèle de la façon dont la masse de votre fusée diminue avec le temps. Le modèle le plus simple (et probablement assez précis) est que le taux de diminution de la masse est un débit massique constant: appelons cela

q

.

Revenons à l’équation différentielle d’où dérive l’équation de Tsiolkovsky. Nous calculons le changement de vitesse de la fusée

v

après avoir jeté une masse

m

à l’arrière à la vitesse

ve

par rapport à lui: par rapport à la trame à un instant donné, avant que la masse ne soit lancée, l’impulsion linéaire du système total est nulle: il doit donc s’agir de l’impulsion relative à cette image après que la masse soit lancée. L’augmentation de l’élan de la fusée est

mv

, qui doit être équilibrée par la quantité de mouvement de la masse lancée dans le sens opposé pour que:

mvm=ve

C’est l’équation différentielle qui est résolue pour obtenir l’équation de Tsiolkovsky. Avec un peu de jonglage, nous le réorganisons pour:

(1)vt=12v2s=vemmt=veqm

La première étape est une identité standard qui convertit l’accélération – c’est-àdire le taux de changement

vt

de la vitesse par rapport au temps

t

, en un taux de variation par rapport à la distance parcourue

s

. Maintenant, à partir de l’équation de Tsiolkovsky, nous avons

m(v)=m0exp(vv0ve)

, où

v0

est la vitesse de début et

m0

la masse de départ: lorsque nous mettons cela dans l’équation (1), nous obtenons:

(2)12v2s=vvs=veqm0exp(vv0ve)

Il s’agit de l’équation différentielle que vous devez intégrer pour obtenir la distance parcourue en fonction de

v

. Dites-moi comment vous allez avec celui-ci Également à partir de (1), nous obtenons de la manière ci-dessus à partir de l’équation de Tsiolkovsky inversée:

(3)vt=vemmt=veqm0exp(vv0ve)

qui est l’équation différentielle que vous devez résoudre pour obtenir

v

en fonction du temps.

Le temps en fonction de la distance provient de cette dernière équation. En intégrant cette dernière équation, vous obtenez

v(t)=vo+veJournal(m0m0qt)

puis vous devez intégrer cela, car vous avez maintenant l’équation différentielle

st=v0+veJournal(m0m0qt)

. Cette dernière intégration vous laisse:

s(t)=ve(tm0q)Journal(m0m0qt)+t(v0+ve)

Pour trouver le temps de parcourir une certaine distance devra être fait numériquement, que, compte tenu

s

, vous avez une équation transcendantale en

t

.

NeomerArcana

Merci beaucoup pour votre aide. Je ne sais pas comment obtenir la distance en fonction de la vitesse ou la vitesse en fonction du temps me donnera le temps en fonction de la distance. Ou devrais-je simplement les inverser?

WetSavannaAnimal aka Rod Vance

@DavidMurphy Voir mes dernières modifications

NeomerArcana

Merci pour l’information supplémentaire. J’ai peut-être mordu plus que je ne peux mâcher ici. Je ne sais tout d’abord pas où vous avez récupéré l’équation différentielle initiale qui a été résolue pour l’équation de Tsiolkovsky? Ensuite, comment la jonglerie a-t-elle été réorganisée dans votre première équation? Je ne comprends pas comment nous sommes passés de la masse et de l’élan à la distance? Dans votre première étape, nous convertissons l’accélération en taux de changement par rapport à la distance, mais l’équation initiale n’a pas de distance ou de temps … Avez-vous un livre ou un site Web que vous recommanderiez?

WetSavannaAnimal aka Rod Vance

@DavidMurphy Le premier DE est une déclaration de conservation de l’élan: on regarde simplement de très petites « taches » de gaz d’échappement à la fois. Pouvez-vous raisonner à travers le problème suivant? « Je me tiens sur une planche à roulettes stationnaire sans frottement. Ma masse totale est

WetSavannaAnimal aka Rod Vance

@DavidMurphy …. (en supposant que les roues de la planche à roulettes n’ont aucune friction de roulement). Vous devriez voir que

 

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