Comment puis-je déterminer si la masse d’un objet est répartie uniformément?

arax

Comment puis-je déterminer si la masse d’un objet est répartie uniformément?


Comment puis-je déterminer si la masse d’un objet est répartie uniformément sans causer de dommages permanents? Supposons que j’aie tout l’équipement de laboratoire typique. Je suppose que je peux calculer son centre de masse et comparer avec le résultat de l’expérience ou mesurer son moment d’inertie entre autres choses, mais est-il possible d’être sûr à 99,9%?

David H

Peut-être en utilisant un équilibre hydrostatique et le principe d’Archimède?

dmckee ♦

Je pense que c’est très difficile si vous admettez des cas pathologiques ou malveillants. Les tuyauteurs et les constructeurs de navires et similaires utilisent beaucoup l’imagerie par rayons X et gamma, l’imagerie sonique et d’autres techniques de « contrôle non destructif ». C’est un grand domaine à part entière.

Ben Crowell

J’interprète la question comme signifiant que nous supposons que l’objet est rigide. Sinon, nous pourrions le secouer, le sonder aux ultrasons ou découvrir qu’il contenait des gyroscopes ou des haricots verts mexicains.

dmckee ♦

À bien y penser, si vous avez des exemples parfaits à utiliser pour la comparaison, le comportement de sonnerie sous un impact bien défini est un test puissant qui peut être fait avec des outils assez simples. Un maillet à répétition et un PC avec un bon microphone pourraient suffire …

à gauche

Si vous êtes autorisé à aller au-delà de l’inertie rigide, il existe de nombreuses méthodes pour démystifier les fraudes simples telles que le contre-exemple de dmckee. Vous pouvez comparer la conductivité thermique entre deux points étroitement voisins à celle entre deux antipodes, ou observer sa déformation lorsqu’elle est compressée infinitésimalement. Ou radiographiez la chose, duh .

Réponses


 dmckee

Exemple de compteur malveillant

L’objet souhaité est une sphère de rayon

R

et la masse

M

à densité uniforme

ρ = M V = 3 4 M π R 3

et moment d’inertie

je = 2 5 M R 2 = 8 15 ρ π R 5

.

Maintenant, nous concevons un faux objet, également sphérique symétrique mais composé de trois régions de densité différente

ρ F ( r ) = 2 ρ   , 1 2 ρ   , 2 ρ   , r [ 0 , r 1 ) r [ r 1 , r 2 ) r [ r 2 , R )

ρ F ( r ) = { 2 ρ , r [ 0 , r 1 ) 1 2 ρ , r [ r 1 , r 2 ) 2 ρ , r [ r 2 , R )

Nous avons deux contraintes (masse totale et moment d’inertie total) et deux inconnues (

r 1

et

r 2

), afin que nous puissions trouver une solution qui imite parfaitement notre objet souhaité.

Ben Crowell

Agréable. Cela suggère un moyen de simplifier mon propre exemple, ce que je ferai.

Ben Crowell

@Mike: Par le théorème de l’axe parallèle, vous ne pouvez pas obtenir d’informations supplémentaires de cette façon.

Mike

@Manishearth. Je vais me racheter en pointant le théorème de Birkhoff, qui dit que les effets gravitationnels sont les mêmes (hors du corps).

Mike

@Manishearth: Non. Dans la gravité newtonienne (comme dans E&M), la loi de Gauss vous montre qu’elle dépend juste de la masse totale enfermée (tant que le système est sphérique symétrique. Même dans GR la gravitation en dehors d’un corps sphérique symétrique est indépendante de la distribution à l’intérieur du corps .

Manishearth ♦

@ Mike: Ah, je vois ce que tu veux dire … Bête moi: P


 Ben Crowell

Si vous avez une distribution de masse rigide scellée à l’intérieur d’une boîte noire, alors les seules choses que vous pouvez observer sur son mouvement sont son vecteur vitesse et son vecteur vitesse angulaire en fonction du temps. Ceux-ci peuvent être prédits si vous connaissez la force totale et le couple total qui agissent, plus la masse, le centre de masse et le moment du tenseur d’inertie. Ainsi, tout ce qui peut être déterminé par toute mesure mécanique externe est sa masse, son centre de masse, l’orientation de ses axes principaux et les trois éléments diagonaux du moment du tenseur d’inertie le long des axes principaux. Cette information est loin d’être suffisante pour récupérer la distribution de masse complète ou pour déterminer si la masse est également distribuée.

Par exemple, supposons que l’objet A est une masse sphérique

m

de densité uniforme, avec rayon

une

. Ensuite, vous pouvez faire l’objet B avec la même masse répartie uniformément sur une coquille creuse de rayon

b = 3 / 5 une

, de sorte que B a le même moment d’inertie que A.

Si vous voulez qu’ils aient la même apparence visuelle, vous pouvez par exemple créer l’objet C en superposant deux objets: (1) une sphère uniforme comme A, mais avec la moitié de la densité, et (2) une coque concentrique comme B mais avec la moitié de la masse par unité de surface. Alors A et C sont indiscernables.

Par le théorème de la coquille, A et C ne se distinguent pas non plus par leurs champs gravitationnels externes.

yohBS

C’est vrai, mais l’OP veut seulement savoir si elle est également répartie ou non, ce qui est un problème plus facile que de « trouver la distribution ». Par exemple, vous pouvez mesurer le moment d’inertie autour d’un axe et le comparer à ce que vous obtiendriez s’il était distribué de manière homogène. S’il y a un écart – vous pouvez l’attraper. Je me demande si l’on peut trouver un contre-exemple d’un corps qui a le moment d’inertie tensoriel complet d’un corps distribué de manière homogène, mais qui ne l’est pas.

Ben Crowell

@yohBS: Merci pour votre commentaire. J’ai ajouté un contre-exemple spécifique pour montrer que l’uniformité ne peut pas être déterminée.

Manishearth ♦

@BenCrowell: Eh bien, dans le contre-exemple, la taille est différente, il est donc évident que le moment d’inertie est différent. Vous semblez être allé dans la mauvaise direction – vous avez donné un objet de taille et de distribution différentes avec le même I. Ce que nous voulons, ce sont deux objets qui se ressemblent extérieurement et ont le même I, mais ont des distributions de masse différentes .

Ben Crowell

@Manishearth: Je ne comprends pas pourquoi vous affirmez que le moment d’inertie est différent. La taille différente est requise afin de rendre le moment d’inertie identique. Les questions de taille ou de son aspect extérieur ne sont pas pertinentes. Vous pouvez par exemple placer les objets A et B dans des boîtes cubiques identiques, créant des objets

Manishearth ♦

@BenCrowell: Je n’ai pas affirmé que j’étais différent. Je dis que la petite sphère n’est pas un contre-exemple parce que la question est « pouvons-nous avoir deux objets de taille / masse égales et moi mais un seul est uniforme? ». Et l’OP ne met pas les choses dans des boîtes (ce qui ajoute de la non uniformité), il demande simplement si l’on peut déterminer l’uniformité d’un objet donné. Deux boîtes contenant des objets sont évidemment non uniformes.


 Floris

Il a été souligné que cela ne peut se faire simplement en examinant la distribution de masse (premier et deuxième moment de masse). Mais il existe un moyen de « regarder à l’intérieur » des objets les plus courants: faites un scanner. Je ne sais pas si vous considérez cet équipement de laboratoire « typique » – mais c’est l’équipement que j’ai dans mon laboratoire …

Bien sûr, selon la taille de l’objet et la composition du matériau, il peut être assez difficile d’obtenir une réponse définitive – les effets de durcissement du faisceau doivent être pris en compte, ce qui signifie que vous devez connaître votre spectre radiographique. Reconstruire un objet dense (Z élevé) avec la densité correcte partout est en fait assez difficile.


 Rafael M Munoz

Si la masse est uniformément répartie à l’intérieur du volume occupé par votre masse, et que vous connaissez votre densité théorique de masse, alors si votre masse est uniformément répartie à l’intérieur du volume qu’elle occupe, elle sera exactement égale à la densité théorique, s’il y a un décalage entre la densité théorique et la densité mesurée, cela signifie que la masse n’est pas répartie uniformément ou qu’un autre type de masse avec une densité différente est dans votre volume de masse (comme quand il y a des bulles à l’intérieur d’une masse solide) mais il peut arriver que les bulles sont également répartis uniformément, la masse est également répartie, mais la densité théorique ne correspond pas à la densité mesurée par un élément, car la densité de masse est moyenne mais elle n’est pas répartie également.

dmckee ♦

Ne traite pas vraiment des cas difficiles.


 Thomas

Attachez une corde à l’objet et attachez l’autre extrémité à une balance. Abaissez lentement l’objet dans de l’eau, en enregistrant la force sur l’échelle et la quantité d’eau déplacée à plusieurs intervalles. À l’aide de ces données, calculez la densité de la section de l’objet qui est immergée à tous les intervalles. Si la masse de l’objet est répartie uniformément, les valeurs de densité que vous obtenez ne doivent pas varier.

Thomas

@Manishearth pourriez-vous élaborer? Maintenant que j’y pense, l’abaissement de l’objet ne fonctionnera certainement pas.

Ben Crowell

Ça ne marche pas. La force de flottabilité dépend uniquement du poids de l’eau déplacée.

 

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