Comment réaliser l’expansion de perturbation d’un oscillateur anharmonique à des ordres élevés?

Jiang-min Zhang

Comment réaliser l’expansion de perturbation d’un oscillateur anharmonique à des ordres élevés?


Je pense que c’est un problème standard en mécanique quantique. Considérez l’oscillateur anharmonique

E ψ = ( 1 2 2 2 X + 1 2 X 2 + ϵ X 4 ) ψ

.

Formellement, l’énergie de l’état fondamental a l’expansion asymptotique

E ( ϵ ) n = 0 une n ϵ n

.

Comment calculer les coefficients

une n

à des commandes élevées, par exemple, pour

n = 20

?

fqq

Avez-vous un problème spécifique avec la théorie des perturbations régulières?

Bulle

Ce document fait exactement ce dont vous avez besoin: facultypages.morris.umn.edu/math/Ma4901/Sp2013/Final/… Les détails sont en annexe A.

Réponses


 Emilio Pisanty

Comme mentionné dans les commentaires de Bubble , il est répondu dans

Calculs d’énergie de l’état fondamental pour l’oscillateur anharmonique de Quartic , Robert Smith. Notes for Math 4901, Université du Minnesota, Morris (2013).

mais comme le document n’est pas explorable par la Wayback Machine, je vais le résumer ici.

Smith considère les hamiltoniens de la forme

H = 1 2 2 d x 2 + 1 2 X 2 + λ x 2 K

H = 1 2 2 X 2 + 1 2 X 2 + λ X 2 K

pour

K = 2 , 3 , 4 ,

, et le spectre résultant est de la forme

E ( λ ) = i = 0 E je λ je ,

E ( λ ) = je = 0 E je λ je ,

où les coefficients sont donnés comme

E je = 1 je X K , i 1 ,

E je = 1 je X K , je 1 ,

pour

je 1

, en termes de variables

X K , je

qui satisfont les relations de récurrence

X j , i = 1 2 j { j 1 2 [ 4 ( j 1 ) 2 1 ] X j 2 , i + 2 ( 2 j 1 ) m = 0 je E m X j 1 , i m 2 ( 2 j + k 1 ) X j + k 1 , i 1 }

X j , je = 1 2 j { j 1 2 [ 4 ( j 1 ) 2 1 ] X j 2 , je + 2 ( 2 j 1 ) m = 0 je E m X j 1 , je m 2 ( 2 j + k 1 ) X j + k 1 , je 1 }

et

X j , 0 = 2 j 1 j E 0 X j 1 , 0 + j 1 4 j ( 4 j 2 8 j + 3 ) X j 2 , 0

X j , 0 = 2 j 1 j E 0 X j 1 , 0 + j 1 4 j ( 4 j 2 8 j + 3 ) X j 2 , 0

avec conditions initiales

X 0 , je = δ 0 , je

.

Les premiers termes de cette expansion sont

E ( λ ) = 1 2 + 3 4 λ 21 8 λ 2 + 333 16 λ 3 30885 128 λ 4 + .

E ( λ ) = 1 2 + 3 4 λ 21 8 λ 2 + 333 16 λ 3 30885 128 λ 4 + .

Ce résultat est obtenu via la méthode de Swenson et Danforth, que Smith explique en détail à l’annexe A, avec une référence supplémentaire à la méthode

Fernandez, Francisco. Introduction à la théorie des perturbations en mécanique quantique . New York, CRC Press, 2001.


(Personnellement, cependant, j’ai tendance à penser que si vous devenez aussi intense

X 4

anharmonicité, alors vous devriez également vous soucier des termes

X 6

– et c’est dans un cas idéal sans termes impairs qui brisent la symétrie. Mais c’est juste moi.)

 

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