Comment trouver la fonction d’accélération par rapport au temps tout en ayant la fonction d’accélération par rapport à la vitesse

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Comment trouver la fonction d’accélération par rapport au temps tout en ayant la fonction d’accélération par rapport à la vitesse


Comme tout le monde sait que l’intégrale de l’accélération par rapport au temps donnera la fonction de la vitesse par rapport au temps. Cependant, ma question concerne le cas différent où la fonction de a (t) n’est pas donnée mais à la place a (v). Cela signifie que l’accélération varie avec la valeur de la vitesse. Le temps t n’est pas ici le paramètre. Bien sûr, l’accélération change la vitesse et l’accélération change de vitesse. Vous pouvez le voir comme un système de rétroaction dont la vitesse est l’entrée qui donne la sortie d’accélération et la sortie est réinjectée pour changer l’entrée

Alors, comment les gens peuvent-ils dériver la fonction a (t) alors qu’ils n’ont que la fonction a (v). Supposons que la vitesse initiale soit déjà connue. Nous ne pouvons pas intégrer un (v). Si nous avions la fonction de v (t) alors ce serait plus facile, dérivons simplement v (t) alors nous connaîtrons a (v) mais maintenant nous n’avons plus que v initial et a (v).

Par exemple, quelque chose avec la masse m tombe du ciel et sa vitesse est v. La force gravitationnelle a maximisé sa vitesse mais maintenant la force de traînée la ralentit. La hauteur ne suffit pas pour qu’il atteigne la vitesse terminale, nous devons donc calculer sa vitesse lorsqu’il a touché le sol ici. Nous connaissons la force de traînée afin de pouvoir calculer l’accélération, mais à mesure que l’accélération diminue la vitesse, elle diminue également l’accélération. Alors, comment un (t) peut-il être dérivé d’un (v)

Curieux

Pourquoi n’essayez-vous pas de tracer les relations sur un graphique? Pouvez-vous tracer la vitesse en fonction du temps ou la vitesse en fonction de la distance? Cela pourrait donner une forme reconnaissable dont la formule peut être discernée.

Réponses


 physicus

Dans le cas où vous avez décrit la fonction

une ( v )

vous donne l’ équation différentielle

v t = a ( v ) .

v t = une ( v ) .

Il suffit de résoudre cette équation différentielle pour

v ( t )

avec une condition initiale

v ( t = 0 ) = v 0

. Après avoir résolu l’équation, vous obtenez l’accélération en différenciant la solution

une ( t ) = v ˙ ( t )

.

Pour l’ exemple que vous avez mentionné: la force de traînée pour un objet de la section transversale

UNE

dans un fluide de densité

ρ

est

F = 1 2 ρ v 2 C UNE

où se trouve

C

est le coefficient du coefficient de traînée, donc l’accélération d’un objet qui tombe est

a ( v ) = g 1 2 m ρ v 2 C A ,

une ( v ) = g 1 2 m ρ v 2 C UNE ,

g

est l’accélération gravitationnelle. Utiliser l’abréviation

ξ = 1 2 m ρ C UNE

, on a

v t = g ξ v 2 v ( t ) v 0 v g ξ v 2 = t 0 t 1 g ξ arctanh ( ξ g v ) v ( t ) v 0 = t arctanh ( ξ g v ( t ) ) arctanh ( ξ g v 0 ) = t .

v t = g ξ v 2 v 0 v ( t ) v g ξ v 2 = 0 t t 1 g ξ arctanh ( ξ g v ) | v 0 v ( t ) = t arctanh ( ξ g v