Composants des vecteurs doubles

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Composants des vecteurs doubles


(Il s’agit d’un récit rapproché de Wald, problème 2.4b. Pas pour les devoirs; juste de la curiosité et un soupçon de plus en plus alarmant que je n’ai jamais vraiment rien compris.)

Soit

Oui1...Ouin

être une collection de champs vectoriels lisses sur un

n

– manifold dimensionnel

M

de telle sorte qu’en chaque point, ils forment un espace vectoriel tangent. Soit

Oui1...Ouin

être la double base correspondante. Montrez que les composants

(Ouiγ)μ

de

Ouiγ

dans n’importe quelle base de coordonnées satisfaire

(Ouiγ)μXν(Ouiγ)νXμ=α,βCαβγ(Ouiα)μ(Ouiβ)ν

L’astuce est que vous devez contracter les deux côtés avec

(Ouiσ)μ(Ouiρ)ν

. En outre, il est vraisemblable que le commutateur de

Ouiα

et

Ouiβ

peut être exprimé

[Ouiα,Ouiβ]=CαβγOuiγ

pour certains

Cαβγ

.

Maintenant, mon cerveau rencontre une erreur d’analyse sur ce problème, en particulier du côté gauche. Réflexions et questions:

  1. Voici à quoi ressemble l’invite: nous introduisons quelques coordonnées avec une base de coordonnées associée

    {vμ}

    tel que

    Ouiγ=(Ouiγ)μvμ

    avec composants

    (Ouiγ)μ

    dans cette base de coordonnées. Ensuite, nous prenons la double base correspondante

    {vμ}

    et exprimer chaque

    Ouiγ

    comme

    Ouiγ=(Ouiγ)μvμ

    . Et ces

    (Ouiγ)μ

    les composants sont ce que nous avons dans le problème. Mais … que se passe-t-il maintenant? Je ne comprends pas ce que signifie un contrat avec ce qui précède

    (Ouiσ)μ(Ouiρ)ν

    lorsque ce composant est dans une dérivée partielle, comme c’est le cas dans le LHS. Puisque ce sont des espaces tangents, la dérivée elle-même doit-elle être prise comme vecteur de base dans la base de coordonnées?

  2. Lorsque j’essaie de contracter le RHS, j’obtiens ceci:

α,βCαβγμ(Ouiα)μ(Ouiσ)μν(Ouiβ)ν(Ouiρ)ν

Maintenant, pour tout vecteur de base de coordonnées

{vν}

et vecteur double de la base double correspondante

{vμ}

, nous avons

vμ(vν)=δνμ

, Et ainsi

Ouiμ(Ouiν)=δνμ=κ(Ouiμ)κvκη(Ouiν)ηvη=κ(Ouiμ)κ(Ouiν)κ

Donc, le RHS se réduit à

α,βCαβγδσαδρβ=Cσργ

De même, à partir d’ici, je ne sais pas comment procéder. Un ancien professeur de physique a conseillé « détendez-vous et laissez les mathématiques vous transporter », mais cela ne semble pas fonctionner.

Alors … Y a-t-il quelque chose ici qui saute aux yeux comme un défaut ou une lacune dans ma compréhension? Je suppose qu’il existe une façon méthodique de procéder, mais je ne peux pas la saisir. Quelqu’un serait-il assez aimable pour donner un pointeur sur la façon de continuer?

Danu

« […] suspicion de plus en plus alarmante que je n’ai jamais rien compris » Nous avons tous été là, plusieurs fois dans mon cas!

Réponses


 pploops

Je pense que vous avez toutes les bonnes pièces pour répondre à la question, voici quelques conseils qui devraient être utiles.

Vous dites que vous avez choisi les coordonnées

{vμ}

. Il me semble qu’ils devraient plutôt être appelés

{Xμ}

, car c’est à cela que vous prenez des dérivées partielles. Comme vous l’avez correctement souligné, vous travaillez avec des composants de vecteurs et de vecteurs doubles. Ceux-ci sont définis dans un graphique particulier, et ils doivent dépendre d’une coordonnée particulière.

En d’autres termes, une manière un peu plus pédante d’écrire votre expression pour les (co) vecteurs est

Ouiγ=(Ouiγ)μ(X)Xμ

. Ici

(Ouiγ)μ(X)

peut être considéré comme

n

fonctions de la coordonnée

X

.

Maintenant, pour aborder chaque point: pour le RHS, essayez d’utiliser la règle de chaîne à l’envers (quelque chose comme

(u)v=(uv)u(v)

) après avoir frappé l’expression avec les vecteurs.

Vous avez également mentionné les commutateurs de deux vecteurs. Rappelez-vous comment le commutateur agit sur les composants de ces vecteurs et ne conservez que le composant. Voyez si cela rappelle quelque chose que vous avez dans votre calcul.

J’espère que cela vous aidera à démarrer!

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Merci, tu es le meilleur! L’idée de la règle du produit inverse m’était vaguement venue à l’esprit, mais ne s’est pas figée jusqu’à ce que vous le disiez. Cela a beaucoup de sens si vous pensez à

 

Composants, des, doubles, vecteurs?

 

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