composants du tenseur mixte avec les mêmes indices

composants du tenseur mixte avec les mêmes indices


Si mon tenseur

uneμν=

matrice de taille 4 * 4 (disons, en 1 + 3 dimensions avec une convention principalement négative pour la métrique), qu’est-ce

uneμμ

? Est-ce la trace ou le vecteur d’éléments diagonaux ou la matrice ne contenant que des éléments diagonaux comme éléments non nuls?

HDE 226868

En supposant la notation de sommation d’Einstein?

Réponses


 Anonymous

La convention générale est que tous les indices répétés (« factices ») (et qu’ils feraient mieux de ne se répéter que par paires, un vers le haut, un vers le bas) sont additionnés. Tous les indices restants – les indices « gratuits » – varient sur toutes les valeurs possibles.

  • Sans indice libre, vous avez un tenseur de rang 0 (un scalaire).
  • Avec un index gratuit, vous avez un tenseur de rang 1 (un vecteur), qui peut être écrit sous forme de colonne ou de ligne.
  • Avec deux indices gratuits, vous avez un tenseur de rang 2, qui peut toujours être écrit sous forme de matrice.

Donc

uneμν

est représentable en tant que matrice non seulement parce qu’il a deux indices, mais parce qu’il a deux indices libres . D’un autre côté,

uneμμ

n’a pas d’indices libres et doit donc être un scalaire. En particulier, c’est la trace du tenseur de rang 2

une

.

Soit dit en passant, seuls les tenseurs symétriques peuvent utiliser sans ambiguïté les indices sur-empilés en général. Autrement dit, à moins

uneμν=uneνμ

, vous ne savez pas si

uneνμ

fait référence à

uneμνgνλuneμλ

ou

uneνμgνλuneλμ

. Dans le cas particulier de la prise de trace, il n’a pas d’importance,

uneμμgμλuneμλsymétrie de ggλμuneμλuneλλuneμμ


toujours, mais il est néanmoins rare de voir

uneμμ

écrit.

Pour résumer,

uneμν

,

uneμν

,

uneμν

, et

uneμν

sont tous représentables par (généralement différents)

4×4

matrices, tandis

uneμμuneμμuneμμ

est simplement un scalaire, égal à la trace des matrices qui représentent

uneμν

ou

uneμν

(ces deux matrices seraient transposées l’une de l’autre de manière cohérente pour attribuer des indices aux lignes / colonnes, et auraient donc la même trace).

 

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