Comprendre la fonction d’Euclidean Green

Marion

Comprendre la fonction d’Euclidean Green


Considérons un champ scalaire couplé à une source

(1)(m2)ϕ(X)=J(X).


Ensuite, la réponse de la source est déterminée par la fonction de Green

g(Xy)

, qui satisfait

(2)(m2)g(Xy)=δ(Xy).

Dans la signature euclidienne, la fonction de Green qui est la solution de l’équation précédente, peut être écrite comme la transformée de Fourier

(3)g(Xy)=k(2π)ejek(Xy)k2+m2.


Je ne peux pas comprendre comment étant donnée (3) la solution de (1) peut être exprimée comme l’intégrale

(4)ϕ(X)=yg(Xy)J(y).

Je suppose que l’on doit prendre (1) et agir en quelque sorte (4) mais pour l’instant je ne vois pas comment arriver à (4). J’apprécierais de l’aide.

PS Mon principal problème est le fait que dans les semi-preuves suivantes

(m2)ϕ=(m2)yJ(y)ϕje(Xy)=yJ(y)(m2)ϕje(Xy)=yJ(y)δ(Xy)=J(X)


Non seulement je n’obtiens pas le signe moins de (1) mais je ne comprends pas non plus pourquoi nous utilisons l’équation de Klein-Gordon homogène pour obtenir la fonction delta rouge dans un problème où nous avons commencé par l’inhomogène!

BMS

J’ai appris quelque chose avec cette color{}{}commande.

Réponses


 Javier

Tout d’abord, l’explication évidente du signe est que si

J

a un signe moins (1), alors il devrait y avoir un signe moins (4).

Pour une raison quelconque, votre

g

transformé en

ϕje

. En supposant que ce soit la même chose, je ne suis pas sûr de comprendre votre problème. Nous n’avons pas utilisé l’équation KG homogène pour obtenir la fonction delta; nous avons utilisé l’inhomogène, avec

J(X)=δ(Xy)

. Si

ϕje

était une solution à l’équation KG homogène,

(m2)ϕje

serait nul, pas

δ(Xy)

.

Marion

Salut. J’utilise le manuel Supergravity de Freedman et les deux (1) et (4) (éqs 4.16 et 4.20 dans le livre) ont ces signes. Quant à la deuxième partie, j’étais un peu confus en essayant de comprendre le tout à partir de diverses sources. Mais à la fin, en effet, cela

Javier

Désolé, les signes m’ont aussi dérouté. (4) est correct, le problème est dans la partie rouge; la seconde (et la dernière ligne) devrait avoir un signe moins.

Marion

Et pourquoi est-ce que?

Javier

@Marion: Parce que

 

#la, comprendre, d’Euclidean, fonction, Green

 

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