Comprendre la notation bra-ket de l’opérateur

Qmechanic

Comprendre la notation bra-ket de l’opérateur


Salut, j’ai une question qui pourrait être un peu banale. Je viens de terminer l’apprentissage d’une section sur la notation bra-ket. Il y a une déclaration selon laquelle ce qui suit est interdit

UNE ^ ⟨Ψ | ,   | ψ⟩ | ϕ⟩ ,   ⟨Ψ | ⟨Φ | , | ψ⟩ A ^ .

UNE ^ ψ | , | ψ | ϕ , ψ | ϕ | , | ψ UNE ^ .

Je comprends que cela peut être vu en traitant le cas de dimension finie où nous pouvons considérer

UNE ^

comme matrice et ce qui précède se réduit alors aux cas qui sont interdits dans la multiplication matricielle. Dans un ensemble de notes que j’utilise, il prouve la conservation de la probabilité (conservation de la normalisation) en déclarant d’abord que

d t ⟨Ψ ( t ) | Ψ ( t ) = ( d d t ⟨Ψ ( t ) | ) | Ψ ( t ) + ⟨Ψ ( t ) | ( d | Ψ ( t ) d t )

t Ψ ( t ) | Ψ ( t ) = ( t Ψ ( t ) | ) | Ψ ( t ) + Ψ ( t ) | ( | Ψ ( t ) t )

Il paraît que

t

ne satisfait pas la définition d’un opérateur utilisé dans le contexte ci-dessus, nous pouvons donc

t Ψ ( t ) |

sur le côté droit est logique. Aurais-je raison de dire que c’est parce que

t

ne satisfait pas la définition d’opérateur dans QM qui est une cartographie qui prend simplement un ket à un ket et un soutien-gorge à un soutien-gorge? Je sais que le résultat du produit intérieur utilisé (même si je pensais que c’était uniquement pour les espaces de produits intérieurs de dimension finie) est

d t ⟨F , g = ⟨F ( t ) , g ( t ) + ⟨f ( t ) , g ( t ) .

t F , g = F ( t ) , g ( t ) + F ( t ) , g ( t ) .

anon01

J’ai trouvé que la notation bra-ket n’est pas uniforme dans tous les textes / auteurs. Quelle source utilisez-vous?

Réponses


 Martin

La notation Bra-ket n’est qu’un raccourci utile pour certains objets bien définis dans l’analyse fonctionnelle (ou l’algèbre linéaire si vous travaillez dans des dimensions finies).

Pour comprendre ce qui est autorisé et ce qui ne l’est pas, vous feriez mieux de savoir quels sont ces concepts, alors récapitulons rapidement:

  • Un ket
  • Un soutien-gorge
  • Le double espace d’un espace de Hilbert est lui-même un espace vectoriel, il est donc logique d’ajouter des soutiens-gorge et de les multiplier par des scalaires.
  • Maintenant, étant donné le produit scalaire de l’espace de Hilbert
  • Selon un théorème , c’est tout ce qu’il y a dans le double espace, d’où la notation bra-ket capture l’espace de Hilbert, son double et la dualité naturelle entre les deux (le produit intérieur).
  • Un opérateur est désormais une fonction linéaire
  • Cela explique pourquoi ce que vous écrivez comme «interdit» est à première vue mal défini. Attention cependant: certaines des notions « interdites » sont en fait présentes dans d’autres textes. Par exemple,

Revenons maintenant à votre question. Le principal problème est, comme vous le dites, que la différenciation n’est pas un opérateur au sens ci-dessus. Pourquoi? Parce qu’il n’agit pas vraiment sur votre espace Hilbert.

| ψ ( 0 ) H

. Également

| ψ ( t ) H

pour tout fixe

t

, mais l’espace Hilbert ne sait rien

t

.

| ψ ( t )

est en fait une fonction d’un certain intervalle de temps

[ une , b ]

à l’espace Hilbert

H

. Et c’est sur ce paramètre que le différentiel agit.

Vous pouvez également le voir avec les matrices: Étant donné

H = R 2

comme votre espace Hilbert, nous avons par exemple un vecteur

v H

qui n’est qu’un vecteur de colonne. En outre, un opérateur est une matrice deux par deux (ce sont les fonctions linéaires

R 2 R 2

. Choisissons un opérateur et appelons-le

UNE

. Ensuite, nous pouvons écrire:

v = ( v 1 v 2 ) a n d A = ( une 11 une 21 une 12 une 22 )

v = ( v 1 v 2 ) une n UNE = ( une 11 une 12 une 21 une 22 )

Mais qu’en est-il

t

? Eh bien, clairement, cela signifie que toutes les coordonnées dépendent de

t

. Vous pouvez même avoir des opérateurs qui dépendent de

t

(voir par exemple l’ image Heisenberg ):

v ( t ) = ( v 1 ( t ) v 2 ( t ) ) a n d A ( t ) = ( une 11 ( t ) une 21