Compter le nombre de degrés de liberté dans un système contraint

John

Compter le nombre de degrés de liberté dans un système contraint


Après avoir compté les degrés de liberté en présence de contraintes , nous savons qu’il y aurait N-2M-S dofs si nous avons M contraintes de 1ère classe et S contraintes de 2ème classe dans l’espace de phase N-dim.

Je ne sais pas comment nous arrivons à ce décompte. Pourquoi chaque contrainte de 1re classe élimine-t-elle 2 DOF et chaque contrainte de 2e classe supprime-t-elle 1 DOF?

Merci.

Réponses


 ACuriousMind

Une contrainte de première classe élimine 2 degrés de liberté car elle relie d’une part la

p je

et le

q je

avec une équation, et d’autre part génère un groupe à un paramètre de transformations de jauge sur la surface de contrainte, où tous les états se trouvant sur la même orbite doivent être physiquement identifiés. Vous perdez donc un DOF à cause de l’équation de contrainte elle-même, et un DOF supplémentaire à cause de la transformation de jauge générée.

Une contrainte de seconde classe ne génère pas de transformation de jauge, la transformation générée par elle n’a pas de signification physique car elle ne préserve pas la surface de contrainte – elle mappe un état sur la surface à un état hors de la surface. Donc, pour une contrainte de seconde classe, vous n’avez qu’un seul degré de liberté qu’elle élimine simplement en étant une relation entre les coordonnées.

John

Merci pour votre réponse et cela semble logique. J’ai une autre question. En cas de champ spin-1 sans masse, nous avons deux contraintes de première classe:

ACuriousMind ♦

@john: C’est en effet un peu subtil. La transformation de jauge habituelle ne survient que comme liberté de jauge résiduelle après avoir imposé la loi de Gauß

John

Je ne comprends pas votre dernière affirmation: la transformation de la jauge lagrangienne ne résulte que des contraintes primaires de première classe. Dans le cas E&M, la principale contrainte de première classe est

ACuriousMind ♦

@john: Oh, je suis désolé, c’était en effet une déclaration imprécise. C’est le fait général et précis: les symétries de jauge de l’action lagrangienne habituelle sont les transformations de jauge résiduelles lorsque toutes les contraintes secondaires ont été imposées. Pour une dérivation détaillée de ce fait, voir par exemple le chapitre 3 dans « Quantification des systèmes de jauge » par Henneaux / Teitelboim.

ACuriousMind ♦

@john: Pour EM, vous devez considérer la transformation combinée des deux contraintes sur l’action étendue , puis trouver les transformations résiduelles qui préservent les contraintes secondaires dans le sens où elles ne transforment pas les multiplicateurs de Lagrange associés.

 

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