Conditions pour déterminer la fonction de Green pour les phénomènes de diffusion

user1620696

Conditions pour déterminer la fonction de Green pour les phénomènes de diffusion


Considérons la diffusion élastique des particules par un potentiel

V

en mécanique quantique. Dans la zone d’influence du potentiel, l’hamiltonien peut s’écrire

H=H0+V,

être

H0

l’hamiltonien de particules libres. L’équation des valeurs propres pour l’hamiltonien

H

est ainsi

H|ψ=E|ψ,

et si

E=2k2/2μ

, nous pouvons réécrire ceci dans la représentation de position comme:

(2+k2)ψ=Uψ,

être

U=2μV/2

. On peut résoudre cette équation avec la méthode des fonctions de Green. La solution générale pour un certain

k

est

ψk(r)=ψk0(r)14πg(r,r)U(r)ψk(r)3r,

être

ψk0

la solution de l’équation libre, c’est-à-dire

H0|ψk0=E|ψk0

et où

g

est la fonction de Green satisfaisante:

(2+k2)g(r,r)=4πδ(rr).

Maintenant, si nous trouvons

g

nous réduisons le problème à une équation intégrale. Il nous faut donc trouver

g

.

Mon problème ici est le suivant: trouver

g

nous avons besoin des conditions aux limites du problème. Je ne peux cependant pas comprendre quelles conditions aux limites nous devons imposer ici.

Donc, pour résoudre les problèmes de diffusion en utilisant les fonctions de Green comme ça, quelles sont les conditions aux limites que nous devons imposer pour calculer la fonction de Green?

Il me semble que cette méthode dans certaines notes et que les choses sont écrites, il semble que la seule condition imposée est que

g(r,r)=g(rr)

. Cette supposition donne deux fonctions de Green:

g±(r,r)=e±jek|rr||rr|

Cela semble alors nécessaire pour obtenir toutes les solutions.

Est-ce la seule condition nécessaire ou il existe des conditions aux limites sur

g

? Quelle est la signification physique de la condition

g(r,r)=g(rr)

et pourquoi devrions-nous l’imposer?

ACuriousMind ♦

Puisque vous souhaitez sans doute que votre diffusion se fasse de manière localisée, pourquoi ne pas imposer les habituels « chutes suffisamment rapides vers l’infini »?

user1620696

Désolé mais je ne suis pas sûr d’avoir compris le point. Je sais que nous considérons généralement que le potentiel a une plage finie, de sorte que la diffusion se produit dans une région spécifique. Mais faut-il aussi que la fonction d’onde disparaisse à l’infini? Je ne suis pas sûr d’avoir compris, car au moins intuitivement il me semble que la particule peut être située loin de la zone de diffusion. En vérité, d’après la façon dont j’ai vu le problème formulé, les particules sont détectées assez loin de la zone de diffusion.

Réponses


 dolun

« Mon problème ici est le suivant: pour trouver G, nous avons besoin des conditions aux limites du problème. Je ne peux pas comprendre, cependant, quelles conditions aux limites nous devons imposer ici.

Donc, pour résoudre les problèmes de diffusion en utilisant les fonctions de Green comme ça, quelles sont les conditions aux limites que nous devons imposer pour calculer la fonction de Green? « 

Pourquoi voulez-vous définir une condition aux limites? Il est clair que votre problème n’a pas de frontière car vous pouvez détecter des particules très loin de l’endroit où l’interaction avec le potentiel a lieu. Cependant, vous aurez sûrement besoin d’une condition initiale fournie par

ψk0(r)

.

Je sens (dites-moi si je me trompe) que ce que vous entendez par « condition aux limites » se réfère en fait au type de solution qui vous intéresse. Comme vous l’avez souligné, l’équation

(2+k2)g(r,r)=4πδ(rr)


a deux solution appelée
retardé

g+

et avancé

g

Fonctions vertes. Cela donne lieu à deux types différents de solutions à votre équation différentielle:

  • La solution causale:

    ψk(r)=ψk(dans)(r)14πrg+(rr)U(r)ψk(r)


    ψk(dans)ψk0

    est interprété comme le champ entrant , c’est-àdire le champ asymptotique que vous obtenez en prenant la limite

    t

    et qui évolue librement avec le temps. C’est généralement la solution qui intéresse les gens car elle décrit l’événement de diffusion résultant de l’interaction avec le potentiel.

  • La solution anti-causale:

    ψk(r)=ψk(en dehors)(r)14πrg(rr)U(r)ψk(r)


    ψk(en dehors)

    est interprété comme le champ sortant , c’est-àdire le champ asymptotique que vous obtenez en prenant la limite

    t+

    et qui avait évolué librement avec le temps du passé.

Dans ces deux cas, les limites

t±

vous permettre de vous débarrasser des termes intégraux et de donner lieu à différentes interprétations des solutions.

  • Vous pouvez également être uniquement intéressé par le champ rayonné qui est défini comme:

« Il me semble que cette méthode dans certaines notes et que les choses sont écrites, il semble que la seule condition imposée est que

g(r,r)=g(rr)

. « 

Il me semble que ce n’est pas directement lié à votre problème initial. On peut montrer indépendamment que la propriété

g(r,r)=g(rr)


est juste une conséquence du fait que la relation de dispersion

k|H|k=E(k)

ne dépend que de l’ ampleur de l’impulsion, c’est-à dire

E(k)E(k)

, ce qui est une conséquence du fait que votre système est invariant en cours de traduction.

 

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