Conservation de l’élan angulaire d’une pierre qui tombe

SiberianSloth

Conservation de l’élan angulaire d’une pierre qui tombe


Je suis actuellement bloqué sur la question suivante.

Une pierre est larguée d’un hélicoptère stationnaire à 500 m au-dessus du sol, à l’équateur. À quelle distance du point verticalement en dessous de l’hélicoptère atterrit-il et dans quelle direction? Résolvez ce problème en conservant la quantité de mouvement angulaire.

Mon interprétation actuelle est que lorsque la pierre tombe pour inverser le moment angulaire, la vitesse angulaire doit augmenter. Cela conduit à la pierre voyageant vers l’est.

J’ai assimilé le moment angulaire au début L0 = * (re + h) m Vo

où re est le rayon de la terre, h est la hauteur au-dessus de cela, m est la masse et Vo est la vitesse initiale. À l’élan angulaire à tout moment

L = (re + h-1 / 2gt ^ 2) m (Ve + Vo)

où le terme 1 / 2at ^ 2 provient de l’accélération gravitationnelle et Ve est la vitesse supplémentaire.

Je me suis réarrangé pour trouver Ve puis je l’ai intégré au fil du temps qu’il faut pour descendre les 500m afin de calculer la distance supplémentaire parcourue par la pierre. Cependant, ma réponse est 1/2 quelle devrait être la réponse. J’ai vérifié les mathématiques et ça semble aller bien. Je pense donc que ma configuration est incorrecte. Toute aide serait appréciée.

Joshua Lin

Je pense que l’erreur est dans cette déclaration L = (re + h-1 / 2gt ^ 2) m (Ve + Vo) où vous supposez que la hauteur perdue est égale à 1 / 2gt ^ 2. Probablement parce qu’on nous apprend toujours que vous pouvez composants de vitesse séparés, mais je ne pense pas que ce soit vrai. Si, par exemple, l’hélicoptère était à 36 000 km (la hauteur de l’orbite géostationnaire), la pierre ne se déplacerait pas du tout vers la terre, en fait, elle entrerait simplement en orbite. Dans ce cas, la hauteur ne change pas du tout, alors que vous supposez qu’elle change toujours de 1 / 2gt ^ 2. Je dis cela, mais je ne sais pas comment rectifier.Résolu un problème similaire une fois, mais en utilisant des ellipses

Réponses


 Floris

De la conservation de la quantité de mouvement angulaire, nous pouvons déduire la vitesse angulaire en fonction de la hauteur:

ω ( h ) = ω 0 ( R + h 0 R + h ) 2

ω ( h ) = ω 0 ( R + h 0 R + h ) 2

ω o

est la vitesse angulaire de la terre,

R

est le rayon de la terre,

h

est la hauteur actuelle et

h 0

est la hauteur initiale.

La vitesse horizontale (dans le cadre de référence de la terre) est

v ( h ) = ( ω 0 ω ( h ) ) ( R + h ) = ω 0 ( R + h ) ω 0 ( R + h 0 ) 2 ( R + h )

v ( h ) = ( ω 0 ω ( h ) ) ( R + h ) = ω 0 ( R + h ) ω 0 ( R + h 0 ) 2 ( R + h )

Un peu plus de manipulation donne

v ( h ) = ω 0 R + h ( ( R + h ) 2 ( R + h 0 ) 2 ) ω 0 2 R ( h h 0 ) R + h 2 ω 0 ( h h 0 )

v ( h ) = ω 0 R + h ( ( R + h ) 2 ( R + h 0 ) 2 ) ω 0 2 R ( h h 0 ) R + h 2 ω 0 ( h h 0 )

(Les approximations sont valables car

R >> h

).

En d’autres termes, la vitesse évolue directement avec la différence de hauteur. En fonction du temps, on écrit

v ( t ) = 2 ω 0 ( ( h 0 1 2 g t 2 ) h 0 ) = o m e g une 0 g t 2

v ( t ) = 2 ω 0 ( ( h 0 1 2 g t 2 ) h 0 ) = o m e g une 0 g t 2

Maintenant nous intégrons:

x = T 0 ω 0 g t 2 t = 1 3 ω 0 g T 3

X = 0 T ω 0 g t 2 t = 1 3 ω 0 g T 3

T

est le temps pris pour l’automne, à peu près

T = 2 h 0 g

En remplaçant, nous obtenons

x = 1 3 ω 0 g ( 2 h 0 g ) 3 2 = 24 cm

X = 1 3 ω 0 g ( 2 h 0 g ) 3 2 = 24 c m

Puisque vous ne nous avez pas dit quelle était la « bonne » réponse, ni quels étaient les détails de vos calculs, je ne peux pas dire si cela résout votre problème …

Joshua Lin

Pour votre première équation, la partie hauteur ne doit-elle pas être au carré? La façon dont je l’ai fait, j’ai utilisé l’élan angulaire, donc L = Iw, mais le moment d’inertie pour une pierre peut être considéré (car il est petit par rapport à la terre) comme simplement mr ^ 2 non? Où est passé le facteur carré?

Floris

Vous avez raison … et cela explique pourquoi ma réponse est faussée par un facteur 2. Laissez-moi prendre une autre fissure.

Joshua Lin

De plus, comment obtenez-vous la «vitesse horizontale» dans la deuxième équation? Il semble utiliser v = rw (où w est la vitesse angulaire nette) mais n’est-ce pas en supposant une orbite circulaire, alors que cela suit une trajectoire elliptique? Ou peut-il être utilisé dans tous les cas?

Floris

Pour les petits angles / déplacements, etc., un petit chemin elliptique est bien approximé par un cercle. Je suis presque sûr que la solution est maintenant correcte.

Joshua Lin

Je suis sûr que c’est incroyablement elliptique. Si l’hélicoptère était à 35 km d’altitude, alors il serait parfaitement circulaire, mais plus l’écart est grand, moins il est «circulaire», dans ce cas, c’est 500 mètres d’altitude qui est une ellipse au maximum. Je pense.

 

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