Contraction d’un système rotatif

Sørën

Contraction d’un système rotatif


Considérons un système de deux masses qui tourne avec une vitesse angulaire constante. Lorsqu’une force contracte le système, la vélocité des deux masses augmente. Je comprends cela en termes de conservation de la quantité de mouvement angulaire mais j’aimerais comprendre comment la force qui provoque la contraction accélère les deux masses.

entrez la description de l'image ici

En utilisant les coordonnées polaires, la force est centrale, donc radiale . Cela signifie que

vr

des deux masses augmentent, alors que

vθ

devrait rester constant. Pendant la contraction, le mouvement est une spirale, donc la vitesse n’est pas perpendiculaire à la force, d’où l’amplitude du vecteur vitesse change. Mais à la fin, lorsque le système est comprimé, les deux masses suivent un mouvement circulaire plus rapide que celui du début. Cela signifie que

vθ

a en quelque sorte augmenté, mais comment?

L’augmentation de l’amplitude de la vitesse n’implique pas l’augmentation de la composante perpendiculaire à la direction radiale. Cette augmentation me semble impossible car la force elle-même est radiale.

Comment

vθ

augmenter pendant le mouvement?

CuriousOne

Regardez la relation entre la vitesse et la vitesse angulaire.

David Hammen

La quantité de mouvement angulaire est une quantité conservée. Vitesse angulaire? Non.

Réponses


 L. Levrel

Regardons l’hodographe d’un mouvement à rayon constant et à vitesse constante.

hodographe

Gauche: trajectoire d’une des masses. A droite: hodographe, c’est-à-dire lieu des vecteurs vitesse.

Maintenant, regardons de plus près comment la vitesse change pendant un petit intervalle de temps

t

.

hodographe zoomé

Une force est nécessaire pour la faire pivoter (différence entre les flèches marron et rouge). Si vous exercez une force plus importante, vous voyez que:

  • la vitesse augmente en norme (la flèche magenta est plus longue)
  • la vitesse tourne plus vite (l’angle rouge-magenta est plus grand que rouge-brun)

La clé pour comprendre le phénomène est de réaliser que les directions radiale et orthoradiale ne sont pas fixes : la direction radiale au temps

t

sera bientôt la direction orthoradiale à un moment donné

t

. Ainsi, lorsque vous dites « la force radiale change

vr

« , en fait, vous devriez dire » la force radiale change à la fois

vr

et

vθ

« .

Pour une explication plus formelle, notez l’accélération le long de

r^

et

θ^

n’est pas la dérivée de l’amplitude de la vitesse le long de

r^

et

θ^

. En effet,

v=vrr^+vθθ^

, donc

une=(vr˙vθθ˙)r^+(vrθ˙+vθ˙)θ^

, c’est

uner=vr˙vθθ˙

et

uneθ=vrθ˙+vθ˙

. D’où

uneθ=0

n’implique pas

vθ=const.

, plutôt

vθ˙=vrθ˙

: à cause de la rotation (

θ˙0

), vitesse radiale (

vr

) est «converti» en variation de la vitesse orthoradiale (

vθ˙

).

Sørën

Merci pour la réponse! Par « orthoradial », vous entendez le

L. Levrel

Oui, orthoradial signifie

 

Contraction, d’un, rotatif, système

 

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