Contraintes non holonomiques dans la théorie de Dirac-Bergmann

AccidentalFourierTransform

Contraintes non holonomiques dans la théorie de Dirac-Bergmann


L’algorithme de Dirac-Bergmann isole efficacement les degrés de liberté physiques d’un système, en changeant des crochets de Poisson

{,}PB

aux crochets Dirac

{,}

.

Aperçu rapide: laissez

χje0

être les contraintes. Nous exigeons que

χje=χje(q,p)

et écrivez

Mjej{χje,χj}PB

pour chaque seconde contrainte de classe. Enfin, les parenthèses de Dirac sont données par

{,}={,}PB{,χje}Mjej{χj,}

.

Ma question : si nous avons une contrainte dépendante de la vitesse,

χ0=χ0(q,q˙)

et

p=p(q˙)

n’est pas inversible (transformée de Legendre singulière), alors la parenthèse de Poisson

{χ0,}PB

n’est pas défini. Est-ce à dire qu’il est impossible de définir

{,}

?

ACuriousMind ♦

Une « contrainte » au sens de Dirac-Bergmann est fonction de

AccidentalFourierTransform

Mais que se passe-t-il si nous commençons avec un lagrangien et certaines contraintes, qui sont dépendantes de la vitesse? Ne pouvons-nous pas passer aux hamiltoniens et essayer d’imposer cette contrainte là-bas?

ACuriousMind ♦

Je ne pense pas. La nature même des contraintes hamiltoniennes est qu’elles correspondent à des singularités dans la transformée de Legendre et jaugent également des symétries du lagrangien (action). Ils ne proviennent pas de contraintes lagrangiennes.

AccidentalFourierTransform

Les contraintes hamiltoniennes correspondent généralement aux singularités de Legendre et aux symétries de jauge, à droite. C’est du moins ce qui se produit naturellement dans les applications pratiques. Mais en principe, nous pourrions avoir d’autres contraintes que nous voulons imposer pour une raison quelconque (de la même manière, nous imposons parfois des contraintes dans les systèmes lagrangiens: pour contraindre le mouvement dans un plan et similaires). Je veux dire: les contraintes ne viennent pas de quelque chose de particulier: elles viennent de ce que nous voulons imposer. Les singularités et les symétries de jauge sont une possibilité, mais nous pouvons imposer d’autres contraintes si nous le voulons, non?

ACuriousMind ♦

Oui, mais ce n’est pas pour cela que la méthode Dirac-Bergmann est conçue (et il n’y a généralement pas de méthode pour faire face à des contraintes arbitraires étranges que vous pourriez imaginer, à ma connaissance). Quand on dit « mécanique hamiltonienne contrainte » ou « recette de Dirac-Bergmann », on veut dire que les contraintes sont des fonctions sur l’espace des phases.

Réponses


 Qmechanic

Soit le lagrangien est de la forme

L(Q,Q˙,t) = L0(q,q˙,t)+λuneχune(q,q˙,t),

avec des contraintes non holonomiques en fonction de la vitesse

χune=χune(q,q˙,t)

; Multiplicateurs de Lagrange

λune

; et où nous avons introduit la notation abrégée

Qje = {qje;λune},Pje = {pje;πune}.

À condition que la théorie soit bien posée et cohérente, nous pouvons en principe toujours appliquer la recette de Dirac-Bergmann à l’espace de configuration étendu de

Qje

-variables afin d’effectuer une transformation de Legendre (singulière possible) pour atteindre le hamiltonien correspondant

H(Q,P,t)

et d’éventuelles contraintes, de première et / ou de seconde classe, et dérivent finalement la parenthèse de Dirac dans l’espace de phase étendu.

AccidentalFourierTransform

Merci pour le réconfort. Je ne pouvais tout simplement pas croire que nous ne pouvons pas faire face à ces contraintes dans l’approche Dirac. Il s’avère que nous le pouvons, mais c’est (pour moi) loin d’être trivial. Par exemple, j’ai trouvé l’article  » Un algorithme de contrainte pour les Lagrangiens singuliers soumis à des contraintes non holonomiques  » par de Leon et de Diego researchgate.net/publication/… que j’essaie encore de digérer, mais il semble prometteur. Quoi qu’il en soit, permettez-moi de répéter que j’apprécie vraiment vos contributions!

 

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