Dans la formulation algébrique de la mécanique quantique, comment les amplitudes de probabilité apparaissent-elles naturellement?

Peeyush Kumar

Dans la formulation algébrique de la mécanique quantique, comment les amplitudes de probabilité apparaissent-elles naturellement?


Dans la formulation algébrique de la mécanique quantique, considérons

B ( H )

comme l’ensemble de tous les opérateurs bornés sur

H

(avec involution, norme, etc.), qui forment une algèbre C *

C

. Les états sont définis comme des fonctions linéaires (double espace de

B ( H )

),

ϕ : C C

.

Ma question vient de la construction ci-dessus, comment

ϕ

décrire naturellement une amplitude de probabilité?

Peter Shor

Vous ne pouvez pas vraiment dériver cela; il suffit de le prendre comme un axiome.

adouci

Quelle que soit la formulation que vous choisissez de la mécanique quantique,

Peeyush Kumar

Donc, si la notion de probabilité est axiomitisée , cela restreindrait-il l’espace des états,

Réponses


 Valter Moretti

Vous pouvez certainement définir l’ amplitude de probabilité d’une paire d’états purs qui sont des états normaux par rapport à un état algébrique donné et cet objet mathématique a les mêmes propriétés que dans la formulation standard.

Lorsque vous avez un état algébrique sur le

C

-algèbre

UNE

, c’est positif (

ϕ ( une une ) 0

), normalisé (

ϕ ( je ) = 1

), fonctionnel linéaire

ϕ : UNE C

, vous pouvez le représenter dans un espace de Hilbert au moyen de la construction GNS .

Jusqu’aux isomorphismes unitaires, il existe un triple

( H , π , Ψ )

, où

(je)

H

est un espace Hilbert,

(ii)

π : UNE B ( H )

a (continu)

-représentation,

(iii)

Ψ H

un vecteur unitaire

tel que

(une)

π ( UNE ) Ψ

est dense en

H

et

b)

ϕ ( une ) = Ψ | π ( une ) Ψ

.

Par souci de simplicité, supposons désormais que

ϕ

est pur (c’est-à-dire un élément extrême de l’ensemble convexe d’états algébriques).

Les vecteurs

Φ H

représentent (jusqu’à la normalisation et une phase) d’autres états purs du système, ce qu’on appelle l’état pur normal du système dans le folium de ϕ

ϕ

NB Si

faible ( H ) =

, il existe de nombreux autres états purs algébriques qui ne peuvent pas être représentés comme des vecteurs dans

H

.

Ces états sont de la forme

π ( une ) Ψ

(

une 0

) ou limite de séquences

π ( une n ) Ψ

de ces vecteurs en raison de (a) ci-dessus. S’en tenir au cas le plus élémentaire d’un état pur normal défini par le vecteur

π ( une ) Ψ

. Algébriquement, il est défini par la fonction

ϕ une ( b ) = π ( une ) Ψ | π ( b ) π ( une ) Ψ π ( une ) Ψ | π ( une ) Ψ

à savoir profiter de la construction GNS (en particulier (b) ci-dessus)

A b ϕ une ( b ) = ω ( a b a ) ω ( a a ) . (1)

(1) UNE b ϕ une ( b ) = ω ( une b une ) ω ( une une ) .

L’amplitude de probabilité de

Φ 1 = ϕ ( une 1 ) Ψ

et

Φ 2 = ϕ ( une 2 ) Ψ

est, comme d’habitude,

⟨Φ 1 | Φ 2 | | Φ 1 | | | | Φ 2 | | = ⟨Π ( un 1 ) Ψ | π ( un 2 ) Ψ⟩