Définition rigoureuse de la pression dans un fluide

forgeron

Définition rigoureuse de la pression dans un fluide


Nous avons brièvement présenté quelques termes au début de mon cours sur les fluides, et l’un d’eux était la pression. Je recherche une définition rigoureuse de la pression.

Wikipedia donne cette définition de la pression:

p = F n UNE

(

p

est la pression,

F n

est la force normale, et

UNE

est l’aire de la surface en contact). La pression est le taux auquel la force normale augmente à mesure que la surface de la surface en contact augmente.

Cependant, la vitesse à laquelle la force normale augmente sur la surface considérée dépend de la façon dont

UNE

est augmenté. Peut-être que nous étendons un peu la surface dans une région où une grande force agit sur elle, ou peut-être que nous l’étendons dans une région où aucune force n’agit sur elle.

p = F n UNE

est une définition ambiguë car elle ne précise pas comment A doit être augmenté.

Je recherche une définition univoque et rigoureuse. Merci!

Éditer:

Élaborer:

p = F n UNE = lim Δ UNE 0 F n ( UNE + Δ UNE ) F n ( UNE ) Δ UNE

. Le problème est que

F n ( UNE + Δ UNE )

est ambigu, car cela dépend de la façon dont

Δ UNE

est sélectionné.

DanielSank

Ce n’est pas ambigu car le

CuriousOne

La définition univoque et rigoureuse est celle de la force normale par zone. Ce que vous avez en tête n’est pas clair.

DanielSank

@CuriousOne: OP est confus car il / elle se rend compte que

DanielSank

@CuriousOne: En fait, la « force normale par zone » est un peu ambiguë. Si je ne vous dis pas quelle taille faire

tpg2114

Questions et réponses connexes qui suffiraient probablement: physics.stackexchange.com/questions/107824/… physics.stackexchange.com/questions/100820/…

Réponses


 Hydro Guy

Désolé pour le retard énorme, j’ai été pris avec plus de travail que je ne le pensais, alors, le voici.

@DanielSank, la relativité n’est pas nécessaire, cela aiderait ce que vous avez dit, car cela indiquerait exactement ce que vous appelez l’élan dans votre système.

Ma réponse serait une extension du commentaire de DanielSank. Lorsqu’il y a conservation d’une quantité continue, la manière habituelle de la traiter est par une équation de continuité:

UNE t + J UNE = S UNE

Où on pourrait lire que la quantité ‘

UNE

«est conservé si la source»

S UNE

‘est égal à zéro.

J UNE

est appelé «courant» associé à la quantité

UNE

. Également si

| UNE | V <

, la valeur

Q = UNE V

est constant dans le temps.

Maintenant, pour discuter de la pression, on pourrait essayer d’écrire ce genre d’équation de continuité pour un fluide. Dans ce cadre, l’approche habituelle pour les fluides normaux consiste à

UNE = ρ v

, qui est interprété comme la densité de quantité de mouvement du fluide. On obtiendrait:

t ( ρ v ) + σ = F

F

est la «force volumique», c’est-à-dire la force pour l’unité de volume dans tout le fluide. Un bon exemple est la force de gravité newtonienne, qui entraînerait

F = ρ g = ρ g z ^

. La définition de la pression vient lors de la décomposition

σ

.

Depuis

UNE = ρ v

est un champ vectoriel,

σ

est un point donné est un tenseur (limitons à 3×3), appelé le tenseur de contrainte, ainsi, nous écririons une matrice 3×3 pour cela. En utilisant la conservation du moment angulaire, on peut montrer que

σ

est une matrice symétrique. La décomposition se déroule comme suit:

σ je j = ( p + Π ) δ je j + π je j

p = p ( ρ )

serait fonction uniquement de la densité (et d’autres quantités thermodynamiques du fluide),

Π

et

π je j

pourrait également dépendre du champ de vitesse du fluide, et

π je j

est sans trace:

je π je je = 0

. Ce qu’on appelle généralement la pression est le terme

p

.

S’il n’y a pas de champ de vitesse,

Π

et

π je j

zéro, on peut donc lire la pression comme un tiers de la trace du tenseur de contrainte:

p = 1 3 je σ je je

Dans ce contexte, et également

F = 0

, on identifie le flux de quantité de mouvement intégré avec la pression, car on obtient, pour une surface

Σ = Ω

, limite d’une région

Ω

:

Ω ( σ ) V = Ω σ S = Ω p S

Interprétant ainsi le changement de la quantité de mouvement dans une région donnée comme la pression intégrée sur la surface limite. On peut voir directement que si

Π

ou

π je j

est non nul, il y a d’autres contributions au flux de quantité de mouvement.

Il est toujours possible d’utiliser la trace comme définition de la pression, où l’on obtiendrait:

p + Π = 1 3 je σ je je

Donc,

Π

, associée à la viscosité en vrac du fluide, agit comme une deuxième contribution «pression». La seule façon de séparer les deux est à travers une équation d’état, qui ne peut pas être extraite simplement en regardant les lois de conservation du système. Étant donné que la plupart des systèmes liquides sont traités comme «incompressibles» (

v = 0

), les gens considèrent généralement

Π = 0

.

Sur les fluides newtoniens, ces expressions se réduisent aux expressions les plus habituelles:

π je j = μ [ je v j + j v je 2 3 ( v ) δ je j ]

Π = ζ ( v )

Il s’agit d’une façon purement macroscopique d’aborder l’hydrodynamique et la définition de la pression, sans recourir à aucun argument microscopique / cinectique, donc, on ne sait pas où les informations sur l’échelle microscopique x macroscopique entrent, mais cela prendra un autre post.

La connexion avec les lagriangiens et la relativité se déroule comme suit:

Lorsque les gens ont affaire à des systèmes «idéaux» / non dissipatifs, il est normal de les approcher en utilisant une action

je = t V L

, où

L

est appelée la «densité lagrangienne» du système. Si l’action a des symétries, par exemple, une translation temporelle ou spatiale, il est possible d’écrire des équations de continuité associées à ces symétries, ce résultat est appelé ‘Théorème de Noether’.

L’équation de continuité associée à l’invariance de translation spatiale est la conservation de l’équation de quantité de mouvement. De plus, le théorème de Noether définit explicitement quelle est la densité de quantité de mouvement de votre système, sans avoir besoin de convention compliquée.

Quand on a la relativité de Lorentz, il y a une connexion plus étroite entre le temps et l’espace, ce qui induit une connexion plus étroite entre la quantité d’énergie, et ce qui se passe, c’est qu’il identifie le courant d’énergie avec la densité de quantité de mouvement pour un système isolé.

edit: J’ai vu le commentaire @ tpg2114 juste après avoir terminé ma réponse, donc je le poste quand même aussi parce qu’il y a un commentaire ici qui n’est pas sur la réponse DumpsterDoofus sur l’autre thread.

tpg2114

Il vaut mieux avoir posté la réponse que de simplement compter sur les gens qui vont aux autres questions que j’ai liées. C’est de toute façon plus complet.

Hydro Guy

Une réponse connexe qui rejoint la théorie cinétique: http: physics.stackexchange.com/questions/67966/fluids-in-thermodynamic-equlibrium/67971#67971

 

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