Dérivation de la métrique de Schwarzschild en utilisant la machinerie complète de la géométrie différentielle [fermé]

Natanael

Dérivation de la métrique de Schwarzschild en utilisant la machinerie complète de la géométrie différentielle [fermé]


Comment dériver la métrique de Schwarzschild en utilisant la machinerie complète de la géométrie différentielle, en utilisant le moins possible l’approche par composants?

Quelque chose dans ce sens: commencez par un collecteur

M4

sur lequel une métrique

s2

de la signature de Lorentz est définie. Supposons que

M4


être à symétrie sphérique dans le sens où à tout

3×3

matrice de rotation

UNE

il correspond une cartographie (rotation) de

M4

, également appelé

UNE

(

UNE:M4M4

:

PUNEP

, pour tous les points

P

), qui préserve les longueurs de toutes les courbes. En utilisant la dérivée de Lie, nous trouvons …

Ryan Unger

Écrire une métrique, c’est donner ses composants en quelques coordonnées … donc vous devez nous dire ce qu’est « l’approche des composants ».

Natanael

Eh bien, on peut énoncer toutes les conditions et autres en langage libre coordonné. Et choisissez les coordonnées le plus tard possible peut-être.

Horus

Wikipedia, dérivation de la solution de Schwarzschild. Il donne une explication intuitive et facile à suivre. Ce que vous demandez est impossible pour résoudre les équations de champ, pour choisir une coordonnée à la fin de la journée.

Réponses


 Michael Seifert

Comme cela a été souligné dans les commentaires, il n’est pas tout à fait clair comment vous avez l’intention de spécifier une métrique sans utiliser un ensemble de coordonnées. Cela dit, quelques textes GR courants ont des approches non standard de la métrique Schwarzchild qui pourraient vous intéresser.

  • Misner, Thorne et Wheeler Gravitation a une barre latérale assez détaillée (Encadré 23.3, «Dérivation rigoureuse de l’élément de ligne à symétrie sphérique») qui commence par l’hypothèse d’un collecteur

    M4

    sur lequel il existe un ensemble d’automorphismes qui préservent la longueur des courbes, et quels automorphismes (traités comme un groupe) sont isomorphes à

    SO(3)

    . Ils montrent ensuite comment ces hypothèses conduisent à une définition naturelle des coordonnées

    t

    et

    r

    dans lequel la métrique peut être considérée comme diagonale. Notez que ceci n’est pas spécifique à Schwarzschild, mais pourrait s’appliquer à n’importe quelle situation sphérique symétrique (même dynamique plutôt que statique).

  • La relativité générale de Wald utilise une version restreinte de l’argument ci-dessus (en supposant la staticité dès le départ) pour montrer comment les coordonnées

    t

    et

    r

    sont obtenus à partir de considérations géométriques. Il utilise ensuite le formalisme orthonormal de la tétrade (au lieu de la méthode plus conventionnelle à composantes coordonnées) pour obtenir les équations différentielles auxquelles la métrique doit satisfaire.

Natanael

Oui! C’était exactement quelque chose dans ce sens que je cherchais. Je vous remercie.

Qmécanicien ♦

Concernant la symétrie sphérique, voir aussi le théorème de Birkhoff , cf. par exemple ce poste Phys.SE.

 

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