Dérivation de l’équation relativiste de la conservation de l’énergie pour un fluide parfait

Daimonie

Dérivation de l’équation relativiste de la conservation de l’énergie pour un fluide parfait


J’essaie actuellement de parcourir le premier chapitre de l’espace-temps et de la géométrie de Sean M. Carrol. Je suis un peu coincé, probablement parce que je ne comprends pas l’opération mathématique. Partant de la divergence du tenseur énergie-impulsion d’un fluide parfait (1.116):

μ T μ ν = μ ( ρ + p ) U μ U ν + ( ρ + p ) ( U ν μ U μ + U μ μ U ν ) + ν p

Je travaille en supposant que

ν p

donne un vecteur, par opposition à

ν p

ce qui donne un double vecteur.

Quoi qu’il en soit, l’étape suivante consiste à le projeter en morceaux le long et orthogonaux au champ à quatre vitesses U μ

U μ

, ce qui donne (1.118):

U ν μ T μ ν = μ ( ρ U μ ) p μ U μ

.

Si je ne me trompe pas, l’idée est que toute partie de l’équation qui ne commence pas par

U ν

va abandonner, car une telle partie est orthogonale à

U ν

. Les pièces qui commencent par

U ν

le perdre, mais gagner un signe moins. S’il en était ainsi, le résultat serait

( ρ + p ) μ U μ + U ν ν p

. Je ne vois pas comment

ρ

pourrait être absorbé dans le dérivé partiel.

Je suis un peu confus et je suppose que c’est ma méconnaissance des calculs de Tensor.

Mes sincères remerciements, Daimonie

magma

J’ai édité le LHS de votre équation de divergence.

Réponses


 magma

1- votre « hypothèse » sur la covariance des dérivées de p est correcte. Ce n’est que des bases du calcul tensoriel, pas une hypothèse particulière.

2-La projection d’un vecteur / tenseur dans différentes directions est une pratique largement utilisée en mathématiques et en physique. Par exemple, vous l’avez probablement rencontré en premier lorsque vous avez décomposé la force gravitationnelle sur un bloc sur un plan incliné en Physique 101. Ici, vous utilisez un vecteur

U ν

et un projecteur sur un plan orthogonal pour

U

.

3- Vous oubliez la première partie de RHS de l’éq. 1.116. Procédez étape par étape.

Multiplions le RHS de 1.116 par

U ν

U ν R H S = U ν U μ U ν μ ( ρ + p ) + ( ρ + p ) ( U ν U ν μ U μ + U ν U μ μ U ν ) + U ν ν p

En utilisant

U ν U ν = 1

U μ μ ( ρ + p ) + ( ρ + p ) ( μ U μ + U ν U μ μ U ν ) + U ν ν p

Rappelez-vous maintenant que

U ν μ U ν = 0

(Eq. 1.117 dans Carrol) en raison de la constance de

U ν U ν = 1

. Nous simplifions donc