Dérivation du générateur complet des transformations de Lorentz

CAF

Dérivation du générateur complet des transformations de Lorentz


Étudions le sous-groupe du groupe Poincaré qui quitte le point

X=0

invariant, c’est le groupe de Lorentz. L’action d’une transformation de Lorentz infinitésimale sur un champ

Φ(0)

est

LμνΦ(0)=SμνΦ(0)

. En utilisant les relations de commutation du groupe Poincaré, nous traduisons le générateur

Lμν

à une valeur non nulle de

X

:

ejeXρPρLμνejeXσPσ=SμνXμPν+XνPμ(1),

où l’ERS est calculé en utilisant la formule de Baker-Campbell-Hausdorff pour le deuxième terme. Ensuite, nous pouvons écrire l’action des générateurs

PμΦ(X)=jeμΦ(X)etLμνΦ(X)=je(XμνXνμ)Φ(X)+SμνΦ(X)(2)

Quelqu’un pourrait-il expliquer le contenu de l’équation (1) et comment (2) en est déduit? Je pense qu’il y a une transformation unitaire sur le LHS de l’équation (1), mais je ne comprends pas ce que fait l’équation et pourquoi le contenu est ce qu’il est dans les exposants des termes exp.

chasseur

Quelle est exactement votre question (poser des questions sur le contenu d’une équation est très large à mon avis)? Voulez-vous comprendre d’où vient l’équation (1)? Aussi, qu’est-ce que

CAF

Salut Hunter, merci pour ton commentaire. Oui, j’essaie simplement de comprendre la motivation de l’introduction de la quantité sur le LHS et ce qu’elle représente.

Réponses


 Anonymous

Le LHS décrit la transformation de

Lμν

sous « traductions espace-temps ». Il s’agit de la généralisation naturelle du fonctionnement de l’évolution du temps dans l’image de Heisenberg. Ainsi , au lieu d’agir par tout le générateur de traduction temps

ejeHt

, vous avez aussi le

pje

dans l’exposant, qui sont les générateurs de traductions spatiales. Vous commencez par l’action du sous-groupe qui laisse

X=0

invariant, ce n’est que la partie spin du moment angulaire. Votre opérateur de moment angulaire total est la somme du moment angulaire orbital et du moment angulaire de spin qui ressort de votre équation 2.

Vous obtenez l’équation 2 en développant simplement Taylor

Φ

environ 0, puis en comparant avec l’équation 1. (Ici, vous comparez les images de Heisenberg et Schrödinger)

LμνωμνΦ(X)=SμνωμνΦ(0)+XμωμννΦ(0)

ωμν

sont les paramètres de boost et de rotation, et j’ai considéré la transformation de lorentz infinitésimale

Xρ=0+ωνρXν

et notant

ωμν

est antisymétrique vous obtenez les bonnes actions.

La version infinitésimale de l’équation 1 n’est que le commutateur du champ avec

Lμν

. Ceci est une caractéristique commune des actions dans QFT, la version algèbre de mensonge infinitésimale agit à travers le commutateur qui, en exponentiant, donne l’action de conjugaison définie ci-dessus.

CAF

Merci ramanujan_dirac! Mon expansion est comme ça

CAF

Si je l’étends à la première commande,

CAF

Est-ce que l’utilisation du fait que les champs scalaires se transforment trivialement ne considère pas un cas spécial? Étant donné


 chasseur

Je ne sais toujours pas exactement quelle est votre question, mais je vais essayer d’expliquer le côté gauche de l’équation (1) en général. Plus d’informations peuvent être trouvées dans « Algèbres de Lie en physique des particules » de Georgi.

Une représentation du groupe de Lie de matrice peut être écrite comme:

(g)=ejeαuneXune


Xune

désigne un générateur et

αune

désigne le paramètre de groupe. La représentation agit sur un espace vectoriel:

|je|je=ejeαuneXune|je


Maintenant, laissez

O

désigne un opérateur donnant le ket

O|je

. De toute évidence, cela se transformera en:

O|jeO|je=ejeαuneXuneO|je=ejeαuneXuneOejeαuneXuneejeαuneXune|je=ejeαuneXuneOejeαuneXune|je


Ainsi, nous voyons d’en haut que l’opérateur se transforme en:

O=ejeαuneXuneOejeαuneXune


ce qui correspond au côté gauche de l’équation (1) dans votre question.
En d’autres termes, le côté gauche montre comment l’opérateur

Lμν

se transforme sous le générateur à 4 impulsions (c’est-à-dire les conversions d’espace et de temps).

CAF

Merci Hunter! C’est à cela que je faisais allusion quand j’ai dit transformation unitaire, mais c’est bien de l’avoir expliqué.

 

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