Deux questions connexes sur les expériences à double fente se déplaçant à une vitesse relativiste

Wilj

Deux questions connexes sur les expériences à double fente se déplaçant à une vitesse relativiste


Je me demandais comment apparaîtrait le motif d’interférence d’une expérience à double fente se déplaçant à une vitesse relativiste v, 1) dans le cas de la lumière et, 2) dans le cas de la matière d’onde (c’est-à-dire des électrons par exemple) comme on le voit en comparaison entre Repères de repos et de déplacement (respectivement S et S ‘).

entrez la description de l'image icientrez la description de l'image ici

Plus précisément, je considère l’espacement entre les franges et leur nature. En ce qui concerne la distribution spatiale des taches individuelles observées sur l’écran, ma première impression était qu’elle devait être exactement de la même nature, c’est-à-dire que les franges étaient centrées aux mêmes positions d’écran (l’axe y étant transversal au mouvement relatif). Faire les calculs simples habituels (voir les détails ci-dessous) pour obtenir la position et l’espacement des franges, et utiliser la contraction de longueur longitudinale L ‘= L / G (v) (où G (v) est le facteur gamma habituel G (v) = 1 / (1 – (v / c) ** 2) ** 0,5) me donne enfin une équation reliant les longueurs d’onde respectives en S ‘et S:

Lambda ‘= G (v) Lambda

Et puis, j’ai les deux questions suivantes:

1) Dans le cas de la lumière (avec Lambda = c / f), cela impliquerait que f ‘= f / G (v) (voir détails ci-dessous). Alors est-il vrai qu’un décalage vers le rouge doit toujours être pris en compte en raison d’un effet Doppler n’agissant que transversalement?

2) Étant donné que pour une onde de matière , la longueur d’onde de Broglie est Lambda = h / p, l’espacement du motif observé serait maintenu si p ‘= p / G (v) (voir détails ci-dessous). Mais je doute sérieusement qu’il existe une transformation relativiste aussi simple entre les moments de repos linéaires respectifs et le cadre mobile (la composition correcte des moments est différente). Quelles sont donc les erreurs?

Merci pour votre patience. J’apprécierais clairement l’aide de quelqu’un.

Détails des mathématiques simples:

Partant du cadre S avec le delta de différence de marche (m) pour un maximum d’intensité observé à la frange d’ordre m sur l’écran (selon l’axe y):

delta (m) = r2 – r1 = m Lambda et d / L -> epsilon
=> y (m) / L = tan thêta -> sin thêta = delta (m) / d = m Lambda / d => position de la frange m: y (m) = m Lambda L / d
et espacement: Dy = y (m + 1) – y (m) = Lambda L / d

Il en va de même dans le cadre S ‘: position de la frange m: y’ (m) = m Lambda ‘L’ / d et espacement Dy ‘= Lambda’ L ‘/ d. Ensuite, la contraction de la longueur, ainsi que l’exigence que l’espacement doit rester le même donnent:

L ‘= L / G (v) avec Dy = Dy’ => Lambda L / d = Lambda ‘L’ / d = Lambda ‘L / (G (v) d) => Lambda’ = G (v) Lambda

1) Dans le cas d’une lumière à vitesse constante

c = Lambda f = Lambda ‘f’ = G (v) Lambda f ‘=> f’ = f / G (v).

qui est l’effet Doppler transversal avec le décalage rouge résultant des couleurs des franges. Cela semble a priori raisonnable puisque la configuration expérimentale mobile est observée transversalement au fur et à mesure qu’elle se déplace (de gauche à droite), il n’est donc pas nécessaire d’avoir un effet Doppler longitudinal. Cependant, cela apparaît en quelque sorte en contradiction avec le fait que la différence de marche delta ‘(m) = m Lambda’ est tracée le long d’une diagonale (à l’angle thêta ‘) et a également une composante longitudinale. Qu’est-ce que cela signifie en termes de composantes x et y possibles des effets Doppler (longitudinal et transversal)? Qu’est-ce qui manque ou qui ne va pas ici (dans le calcul ou l’interprétation)?

2) Dans le cas de la matière d’onde (électrons) ayant la longueur d’onde de Broglie Lambda = h / p, les choses deviennent plus compliquées puisqu’il faut supposer pour le faisceau d’électrons une vitesse u dans le référentiel S et une vitesse w dans S ‘étant liée par la vitesse relative v de S ‘par la composition relativiste soustractive des vitesses (avec u> v):

w = (u – v) / (1 – uv / (c ** 2)) avec l’identité géométrique bien connue
w G (w) = (u – v) G (u) G (v)

Ensuite, la relation entre les longueurs d’onde conduit à une relation entre p = p (u) = G (u) m0 u et p ‘= p (w) = G (w) m0 w (où m0 représente la masse de repos des électrons et G pour le facteur gamma relativiste):

Lambda ‘= G (v) Lambda => h / p (w) = G (v) h / p (u) => p (w) = p (u) / G (v)

ce qui est surprenant et peut-être trop simple pour être vrai. En effet, en utilisant l’identité géométrique w G (w) = (u – v) G (u) G (v), on peut voir que la composition correcte des impulsions pour p ‘= p (w) doit se lire comme suit:

p (w) = G (w) m0 w = G (w) m0 (u – v) G (u) G (v) / G (w) = m0 (u – v) G (u) G (v) = G (v) G (u) m0 u – G (u) G (v) m0 v = G (v) p (u) – G (u) p (v)

Et encore une fois, comme ce fut le cas pour la situation de lumière, il faut remarquer que ces impulsions ne sont pas nécessairement longitudinales car elles sont liées à la différence de marche delta ‘(m) = m Lambda’ qui est tracée le long d’une diagonale (à l’angle thêta ‘). Alors, qu’est-ce qui ne va pas dans cette logique et dans ces calculs probablement trop simples?

Merci de votre aide!

Wilj

Réponses


 Luboš Motl

Tout d’abord, les ondes lumineuses et les ondes de matière peuvent être traitées ensemble, en utilisant les mêmes calculs, car les ondes associées à la lumière et les ondes associées à la matière sont fondamentalement la même chose.

Deuxièmement, toutes les ondes avant qu’elles interfèrent et après qu’elles interfèrent peuvent être écrites en termes de courant de probabilité

j μ ( X , y , z , t )

, et sa transformation d’une trame à l’autre est obtenue par une simple transformation de Lorentz des coordonnées

( t , X , y , z )

. Dans la limite non relativiste, la transformation galiléenne fonctionnera comme une bonne approximation de la transformation de Lorentz.

Troisièmement, chaque fois qu’une vague – localement ou globalement – a un vecteur d’énergie cinétique bien défini de la particule correspondante (que ce soit un photon, un électron ou autre chose), alors l’onde a une forme d’onde plane simple

ψ = exp ( je p μ X μ )

ψ = exp ( je p μ X μ )

Au moins les fréquences et les longueurs d’onde sont déterminées par cette exponentielle complexe simple. Notez que

X μ

et

p μ

transformer selon la transformation de Lorentz, de la même manière, et leur produit intérieur – l’argument de l’exponentielle – est donc invariant sous les transformations de Lorentz, c’est pourquoi la phase ci-dessus est également invariante. Il n’est pas nécessaire de faire des vérifications « explicites »; il est clair que les prédictions pour les emplacements des minima et maxima d’interférence seront les mêmes dans toutes les trames de référence.

Maintenant, si l’élan dans la direction entre « la fente et la plaque photographique » que j’appellerai le

z

-la direction est

p z

et l’énergie totale est

E

pour la particule interférente, puis

( E , p z )

est transformé par la transformation de Lorentz standard lorsqu’il est stimulé par la vitesse

v

. Cette transformation de

( E , p z )

à

( E , p z )

équivaut au calcul de la vitesse

V

de la particule (représentée par les vagues)

V = p z c 2 E

V = p z c 2 E

(le dénominateur est l’énergie totale donc dans la limite non relativiste, il doit être remplacé par

m 0 c 2

et non par

m v 2 / 2

) et composer ce

V

avec le

v

par la formule de composition relativiste,

V = ( V + v ) / ( 1 + V v / c 2 )

V = ( V + v ) / ( 1 + V v / c 2 )

Pour les photons et autres particules se déplaçant à la vitesse de la lumière, la vitesse est

V = c

et nous obtenons la « nouvelle » vitesse

V = c

encore. Ce n’est pas trop informatif car pour les photons, la fréquence ou l’énergie n’est pas encodée dans la vitesse (celle-ci est toujours

c

).

La transformation de

E , p z

– qui obéissent

E = | p z c |

pour

z

photons dirigés – sous la transformation de Lorentz donnée par le mouvement à grande vitesse

v

est donné par le décalage Doppler – l’élan et la fréquence sont redimensionnés par

c + v c v

c + v c v

La longueur d’onde dans le

z

-direction obtient contracté par ce facteur. Cependant, la distance entre les fentes et la plaque se contracte également, et le temps se raccourcit car la plaque se déplace « contre » les photons. Ces trois modifications sont cohérentes car le nombre de longueurs d’onde entre la fente et la plaque est multiplié par

1 v 2 / c 2 c + v c v = 1 v c

1 v 2 / c 2 c + v c v = 1 v c

qui est exactement le facteur par lequel le temps passé entre la fente et la plaque raccourcira car la plaque se déplace contre les photons.

Permettez-moi de souligner une fois de plus que si nous ne modifions que la vitesse

z

direction, les composantes de moment transversal

p X , p y

et les composantes correspondantes du vecteur d’onde

k X , k y

restera inchangé. Cela est vrai pour la relativité et la physique non relativiste, les particules sans masse et massives.

Wilj

J’apprécie votre réponse détaillée. Il est clair en effet que le produit interne de la fonction d’onde plane ψ est invariant sous une transformation de Lorentz dans tous les cas (lumière et matière). Mais en termes de modules de quantité de mouvement (pris en 2D, car il est observé le long des diagonales thêta et thêta ‘), est-il acceptable de prétendre que la relation p’ = p / G (v) est toujours valable même si ce n’est pas un la transformation de Lorentz complète en soi, le boost v étant ici le long de l’axe horizontal et non selon votre choix de la direction z? Et pourquoi, si ce n’est pas le cas? Merci encore pour vos éclairages sur la question!

 

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