Diagonalisation: Schmidt vs valeur propre – quand utiliser quoi?

Wolpertinger

Diagonalisation: Schmidt vs valeur propre – quand utiliser quoi?


En physique, nous rencontrons une diagonalisation de matrices ou d’opérateurs dans divers domaines. Mais il existe différents types, les deux principaux étant la décomposition de Schmidt et la diagonalisation des valeurs propres .

Les deux sont en général différents: la décomposition de Schmidt fonctionne également pour les matrices non carrées tandis que la diagonalisation des valeurs propres est limitée aux matrices carrées. Même pour les matrices carrées, elles ne sont généralement pas les mêmes. En revanche, elles coïncident pour certains cas (matrices carrées symétriques je crois. Ou est-ce hermitien?).

Ma question est de savoir quand utiliser laquelle et pourquoi?

Par exemple, lorsque nous traitons des hamiltoniens sur des espaces de Hilbert de dimension finie (pas sûr que l’infini fonctionne aussi), nous semblons toujours utiliser la diagonalisation des valeurs propres. Je soupçonne que c’est parce que nous avons besoin que les états / vecteurs gauche et droit de la matrice diagonale soient les mêmes car sinon les valeurs propres ne pourraient pas être interprétées comme les énergies du système et les états ne seraient pas les états stationnaires.

Pour les matrices de densité des systèmes multipartites, nous semblons utiliser la décomposition de Schmidt la plupart du temps. Dans ce cas, je soupçonne que c’est parce que les valeurs de Schmidt ont l’interprétation des probabilités (car elles sont toujours positives).

Emilio Pisanty

En bref, la décomposition de Schmidt s’applique aux vecteurs d’état (en particulier aux états bipartites, qui admettent une structure matricielle), et la diagonalisation des valeurs propres s’applique aux opérateurs (qui inclut les matrices de densité).

Wolpertinger

@EmilioPisanty il y a aussi la décomposition de Hilbert-Schmidt qui n’est vraiment que la version dimensionnelle infinie de la décomposition de Schmidt pour les opérateurs bornés. donc je ne pense pas que votre déclaration puisse être tout à fait correcte en général

Réponses


 biryani

La décomposition de Schmidt est en général une décomposition en valeurs singulières (SVD) et elle est appliquée sur des vecteurs d’onde et non sur des matrices de densité.

Tout en traitant des vecteurs d’onde bipartites, nous utilisons SVD car il n’y a aucune restriction que la taille des deux systèmes en question soit la même. Ainsi, la matrice des coefficients du vecteur d’onde peut être rectangulaire et SVD peut être calculé pour les matrices rectangulaires.

Puisque les hamiltoniens sont des matrices hermitiennes, leurs vecteurs singuliers gauche et droit sont les mêmes. Une raison de préférer les valeurs propres aux valeurs singulières est que les valeurs singulières sont toujours contraintes d’être positives alors qu’il n’y a pas de telle contrainte pour l’énergie d’un système. Pour les matrices hermitiennes, les valeurs singulières sont les valeurs absolues des valeurs propres.

Remarque: Les vecteurs singuliers gauche et droit d’une matrice contiennent les vecteurs propres de

UNE UNE

et

UNE UNE

. Donc si

[ UNE , UNE ] = 0

puis la diagonalisation SVD et valeur propre correspond. Les matrices qui satisfont à cela sont appelées matrices normales.

Edit: en plus d’être normal,

UNE

doit également être semi-défini positif (toutes les valeurs propres sont

0

) pour que la SVD et la décomposition propre correspondent.

 

-, diagonalisation, propre, quand, quoi, Schmidt, utiliser, valeur, vs

 

google

Laisser un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *