Différence potentielle entre le point sur la surface et le point sur l’axe du cylindre uniformément chargé

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Différence potentielle entre le point sur la surface et le point sur l’axe du cylindre uniformément chargé


Question:

La charge est uniformément répartie avec la densité de charge

ρ

à l’intérieur d’un très long cylindre de rayon

R

.

Trouvez la différence de potentiel entre la surface et l’axe du cylindre.

Exprimez votre réponse en termes de variables

ρ

,

R

et les constantes appropriées.

UNE t t e m p t :

J’ai du mal à déterminer quelle surface gaussienne utiliser. Si j’utilise un cylindre, alors le cylindre aurait une zone infinie, non? Comment puis-je gérer cela? Si j’utilise une sphère (puisque j’essaie de trouver la différence de potentiel entre seulement deux points, un à la surface et un sur l’axe), quelle sera la charge à l’intérieur de la sphère?

Si j’utilise une sphère comme surface gaussienne, j’obtiens:

E . UNE = Q ϵ 0

E . UNE = Q ϵ 0

Δ V = F je E . s

Δ V = je F E . s

E = ρ 4 π R 2 ϵ 0

E = ρ 4 π R 2 ϵ 0

Δ V = ρ 4 π R 2 ϵ 0 R 0 R = ρ 4 π R ϵ 0

Δ V = ρ 4 π R 2 ϵ 0 0 R R = ρ 4 π R ϵ 0

Mais c’est faux.

Réponses


 Lapin moelleux

Par la loi de Gauss,

E UNE = q ϵ 0

(en supposant que le champ électrique est constant à chaque

UNE

et qu’il est toujours parallèle à

UNE

, ce qui est dans ce cas)

Définissons la charge contenue dans le cylindre à problème d’origine comme étant

Q

alors que la charge dans le plus petit cylindre guassien

q

.

Par conséquent, la charge dans le petit cylindre guassien dépend du rapport entre les volumes des deux cylindres en raison de la distribution uniforme des charges:

q = Q π ( r 2 ) L π ( R 2 ) L

q = Q π ( r 2 ) L π ( R 2 ) L

Cela simplifie

q = Q π ( r 2 ) π ( R 2 )

q = Q π ( r 2 ) π ( R 2 )

Nous savons aussi que

Q = ρ V = ρ π ( R 2 ) L

En substituant cela, nous obtenons

E A = ρ π ( R 2 ) L ( r 2 ) ε 0 ( R 2 )

E UNE = ρ π ( R 2 ) L ( r 2 ) ε 0 ( R 2 )

E = ρ π ( R 2 ) L ( r 2 ) ε 0 ( R 2 ) 2 π r L

E = ρ π ( R 2 ) L ( r 2 ) ε 0 ( R 2 ) 2 π r L

L’annulation de haut en bas nous donne la réponse

E = ρ r 2 ε 0

E = ρ r 2 ε 0


 TheQuantumMan

Toutes les réponses ci-dessus sont correctes, bien qu’aucune ne vous donne de réponse POURQUOI vous ne devriez PAS utiliser une sphère et aucune ne résout votre problème de « surface gaussienne infinie » et vous semblez un peu confus sur la façon dont les choses fonctionnent réellement (vous devez comprendre comment les choses fonctionnent avant de vous plonger dans la partie mathématique).
Donc, si vous utilisez une sphère, votre intégrale de la loi de Gauss ne sera pas facile car la plupart des vecteurs de champ électrique ne seront pas perpendiculaires (et donc vous pouvez extraire E de l’intégrale). Vous devez utiliser votre intuition pour deviner où pointent les vecteurs de champ électrique (ici vers l’extérieur de façon cylindrique parce que vous avez un cylindre infini), vous devez donc utiliser un cylindre.
Maintenant, à propos de votre problème de surface gaussienne infinie: il vous suffit de créer une surface gaussienne de taille finie, car la loi de Gauss vous donne le champ électrique NET (total) (créé à partir de tous ses environs) d’un côté de l’équation (dans le intégrale) mais vous ne pouvez la trouver que par la charge incluse (de l’autre côté de l’équation) .Ainsi, vous ne devez pas avoir une surface gaussienne infinie.
J’espère que j’ai aidé avec ces informations supplémentaires.


 SprocketsAreNotGears

En fait, utiliser un cylindre pour votre surface gaussienne est votre meilleure approche. Le fait que la zone soit infinie ne devrait pas avoir d’importance, si vous exprimez la longueur infinie du cylindre comme une variable, dites

l

. Notant que la surface gaussienne,

UNE = 2 π R l

, et cela

Q = ρ l

, le

l

terme devrait finalement annuler dans votre travail.

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Merci beaucoup d’avoir répondu. Si je fais ça, je reçois

SprocketsAreNotGears

Je ne suis pas à 100%, mais je ne devrais pas

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Oui, oui ça devrait. Je vous remercie!

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Alors maintenant je reçois


 Lapin moelleux

Comme l’a dit Eternal Code, utiliser un cylindre à l’intérieur du cylindre à problème d’origine est la bonne approche. Si vous utilisez la loi de Gauss, vous devriez constater que le champ électrique à l’intérieur du cylindre infiniment long et uniformément chargé est

E = ρ r ( 2 ε 0 )

E = ρ r ( 2 ε 0 )

Maintenant, pour calculer la différence de potentiel entre la surface et l’axe du cylindre,

Δ V = R 0 ρ r ( 2 ε 0 ) r

Δ V = 0 R ρ r ( 2 ε 0 ) r

Cela donne la différence de potentiel entre la surface et l’axe du cylindre comme étant

Δ V = ρ ( R 2 ) 4 ε 0

Δ V = ρ ( R 2 ) 4 ε 0

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Pourriez-vous m’expliquer comment vous avez obtenu

Floris

Serait-il judicieux de combiner vos deux réponses en un seul article?

 

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