Différencier l’opérateur hamiltonien, H ^ H ^

J.D’Alembert

Différencier l’opérateur hamiltonien, H ^ H ^


Laissez d’abord

H ^

désigne la pleine énergie de l’onde électromagnétique. J’essaie de différencier l’opérateur hamiltonien par rapport aux composantes de l’élan, c’est-à-dire

p X p y p z H ^

p X p y p z H ^

Pour ce faire, j’ai besoin d’écrire l’hamiltonien comme composantes de l’élan. En utilisant l’équation de Dirac, je pense qu’il serait correct de dire

H ^ = β m c 2 + c ( α X p X + α y p y + α z p z )

H ^ = β m c 2 + c ( α X p X + α y p y + α z p z )

Comme

( β m c 2 + c ( α 1 p 1 + α 2 p 2 + α 3 p 3 ) ) ψ ( x , t ) = i ψ ( x , t ) t

( β m c 2 + c ( α 1 p 1 + α 2 p 2 + α 3 p 3 ) ) ψ ( X , t ) = je ψ ( X , t ) t

et

p ^ = p X e X + p y e y + p z e z

p ^ = p X e X + p y e y + p z e z

selon Wikipedia .

Je ne suis pas familier avec ce que je pense être la mécanique matricielle, donc j’aimerais que quelqu’un explique le but de

β

et

α

et comment différencier l’équation susmentionnée, à condition qu’elle soit correcte.

ACuriousMind ♦

… pourquoi cherchez-vous l’équation de Dirac (pour les fermions) quand vous dites que vous voulez étudier l’électromagnétisme (avec des bosons)?

ACuriousMind ♦

Je ne sais toujours pas pourquoi vous pensez que l’équation de Dirac a quelque chose à voir avec les ondes électromagnétiques, et ce que vous demandez réellement.

Steven Mathey

Mais pourquoi voulez-vous faire ça? Il ne semble pas que vous sachiez ce que vous faites. Différencier un opérateur par rapport à un autre me semble très étrange. Il y a sûrement des mathématiciens qui ont défini une telle opération, mais je n’en ai jamais entendu parler en physique.

J.D’Alembert

Je pense à peine que cette question « ne montre aucun effort de recherche; elle n’est pas claire ou n’est pas utile », probablement par dépit.

Danu

Il y a beaucoup de problèmes différents ici. Il semble que vous essayez de faire quelque chose qui pourrait très bien être mal défini. De plus, il n’est pas clair si vous êtes intéressé par l’ électromagnétisme ou la mécanique quantique , ou une combinaison des deux (traitement semi-classique? Autre chose encore?). C’est pourquoi je conviens qu’il n’est pas clair ce que vous demandez, et je vote pour clore. Cependant, il peut y avoir une bonne question ici, donc si vous trouvez un moyen d’améliorer votre question, je serais heureux de reconsidérer.

Réponses


 Everett You

Oui, vous pouvez certainement différencier l’hamiltonien par rapport à l’élan (ou plus généralement par rapport à n’importe quoi dans l’hamiltonien). Pour Dirac Hamiltonian (en supposant

c = 1

):

H = p je α je + m β ,

H = p je α je + m β ,

nous avons simplement

v je p je H = α je ,

v je p je H = α je ,

qui est l’opérateur de vitesse (courant) du fermion. En théorie des champs quantiques,

v je

est également l’opérateur du sommet qui couple le fermion au champ électromagnétique

UNE je

comme

UNE je ψ v je ψ

. En ce sens, votre question est en effet liée à l’électromagnétisme, ou plus précisément à l’électrodynamique quantique (QED).

Dans les systèmes de matière condensée, les électrons ont généralement des hamiltoniens beaucoup plus compliqués que le hamacien de Dirac. Par exemple, l’hamiltonien efficace pour le graphène bicouche se lit

H = 1 2 m ( 0 ( p 1 + i p 2 ) 2 ( p 1 je p 2 ) 2 0 ) .

H = 1 2 m ( 0 ( p 1 je p 2 ) 2 ( p 1 + je p 2 ) 2 0 ) .

Dans ce cas, la définition de

v je p je H

devient extrêmement utile pour trouver l’opérateur de sommet correct qui couple l’électron au champ de jauge. Ce n’est pas difficile à trouver

v 1 p 1 H = 1 m ( p 1 σ 1 + p 2 σ 2 ) , v 2 p 2 H = 1 m ( p 2 σ 1 + p 1 σ 2 ) ,

v 1 p 1 H = 1 m ( p 1 σ 1 + p 2 σ 2 ) , v 2 p 2 H = 1 m ( p 2 σ 1 + p 1 σ 2 ) ,

σ 1

,

σ 2

sont des matrices de Pauli. Ensuite, le champ électromagnétique se couplera à l’électron de basse énergie dans le graphène bicouche via