Énergie stockée dans un condensateur (plaques parallèles se déplaçant lentement ensemble)

Andrew

Énergie stockée dans un condensateur (plaques parallèles se déplaçant lentement ensemble)


Je pense que c’est un problème canonique avec les condensateurs, mais j’ai du mal à comprendre le paradoxe. Dans Électricité et magnétisme de Purcell , le problème 3.16 se lit comme suit:

Calculez la force électrique qui agit sur une plaque d’un condensateur à plaques parallèles. La différence de potentiel entre les plaques est de 10 statvolts, et les plaques sont des carrés de 20 cm de côté avec une séparation de 3 cm. Si les plaques sont isolées de sorte que la charge ne puisse pas changer, combien de travail externe pourrait être effectué en laissant les plaques se réunir? Est-ce que cela équivaut à l’énergie qui était initialement stockée dans le champ électrique?

J’ai ignoré ce que la question initiale demandait et j’ai essayé de calculer l’énergie stockée dans le condensateur en laissant la distance entre les plaques diminuer lentement jusqu’à zéro et en trouvant l’énergie libérée. Pour ce faire, le champ électrique entre les plaques en unités SI est

E=σϵ0

. Le potentiel électrique entre les plaques est

ϕ=E=σϵ0

, où d est la distance entre les plaques. Par conséquent, l’énergie libérée en permettant à la distance entre les plaques de diminuer lentement jusqu’à zéro est

U=ϕQ

, où

Q=σUNE

est la charge sur le plateau de la zone

UNE

. Au total, nous obtenons

U=1ϵoσ2UNE.

Le résultat de ce calcul est deux fois plus grand que l’énergie stockée dans le condensateur en additionnant les quantités différentielles de charge déplacées d’un conducteur du condensateur à l’autre. Ce deuxième calcul se fait généralement comme suit:

U=0Qϕq=0QqCq=12CQ2.

Pour un condensateur à plaques parallèles,

Q=σUNE

et

C=Qϕ=σUNEE=σUNEϵ0σ=UNEϵ0

. En remplaçant ce qui précède, nous obtenons:

U=12CQ2=12ϵ0σ2UNE


Je ne sais pas pourquoi les deux résultats se contredisent.
D’ autres sites comme
celui – ci ainsi que d’ un poste sur la pile d’échange ici semblent indiquer que dans des scénarios similaires , l’énergie est dissipée sous forme de rayonnement électromagnétique. Cependant, dans l’exemple ci-dessus, toutes les charges peuvent être déplacées lentement, ce qui signifie que le courant peut être rendu infiniment petit. Cela n’annulerait-il pas l’explication en utilisant le rayonnement? Sinon, où le rayonnement est-il produit et l’énergie qui lui est fournie peut-elle être quantifiée?

La réponse d’Alfred Centauri ci-dessous souligne l’erreur que j’ai commise en n’écartant pas le champ électrique de la plaque mobile lors du calcul de la force sur la plaque. Comme mentionné dans certains commentaires, un article connexe icitraite du même système d’un condensateur à plaques parallèles avec une distance de séparation variable entre les plaques, mais ne mentionne pas que seul le champ électrique de la deuxième plaque doit être utilisé lors du calcul de l’énergie libérée par le système. Après avoir lu la réponse de Centauri, j’ai réalisé que Purcell dérivait une formule pour le champ électrique exercé sur une couche de charge à la page 30 de son livre. Bien que cette couche de charge fasse partie d’une distribution de charge sphérique plutôt que celle d’un condensateur à plaques parallèles, il parvient toujours à une conclusion similaire à celle d’Alfred Centauri. À savoir, il constate que le champ électrique qui agit sur la couche de charge est la valeur moyenne des champs (champ électrique total) à l’intérieur et à l’extérieur de la couche de charge. Dans ce cas,il finit par être la moitié de la magnitude du champ à l’intérieur du condensateur, car il n’y a pas de champ électrique à l’extérieur du condensateur. Cela n’a pas non plus été mentionné dans les autresposter .

Andrew

@CarlWitthoft Ce message ne traite pas du concept d’énergie.

Carl Witthoft

Comment allez-vous séparer l’énergie de la tension et de la capacité pour un montant de charge donné?

Andrew

@CarlWitthoft Je ne suis pas sûr de comprendre ce que vous dites. J’ai lu l’autre post, et ils ne parlent pas d’énergie. Cependant, la question ci-dessus concerne l’énergie.

Andrew

Je vois que je suis minoritaire sur celui-ci. Je conserve toujours mon point de vue original selon lequel la réponse posée par Alfred Centauri ci-dessous, qui souligne mon erreur et le paradoxe inhérent à la question, n’est pas abordée dans l’autre article mentionné, et donc cet article ne doit pas être fermé en double. Il semble cependant que beaucoup d’autres personnes ne soient pas d’accord.

David Z ♦

@Andrew Modifiez cette question pour créer un lien explicite avec l’autre question et mentionnez comment elle ne répond pas à la question que vous souhaitez poser – un peu comme vous l’avez fait avec le site Web externe et l’autre question à laquelle vous avez déjà lié. C’est souvent suffisant pour qu’une question ne soit pas marquée comme doublon.

Réponses


 Alfred Centauri

Par conséquent, l’énergie libérée en permettant à la distance entre les plaques de diminuer lentement jusqu’à zéro est U = ϕQ

Ce n’est pas correct. S’il est vrai que la magnitude du champ électrique entre les plaques est

E=σϵ0

, c’est la somme des deux champs électriques des deux plaques.

Mais la force sur la charge sur une plaque est due au champ électrique de l’autre plaque uniquement

FQ=Qσ2ϵ0=UNEσ22ϵ0

ainsi, le travail associé au déplacement lent de la plaque Q vers la plaque -Q est

W=FQ=UNEσ22ϵ0

Andrew

Ouah merci. J’ai trouvé cela déroutant. Il semblait beaucoup plus naturel de supposer que le travail effectué serait le résultat du champ électrique total à l’emplacement de la plaque mobile. Il semble que selon la troisième loi de Newton, un objet ne peut pas exercer une force nette sur lui-même (ce qui signifie que la plaque mobile ne peut pas travailler sur elle-même).

 

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