Équation de Langevin des particules browniennes sans masse et FDT

Charlie

Équation de Langevin des particules browniennes sans masse et FDT


Étant donné l’équation de Langevin d’une particule brownienne sans masse:

γX˙=η,

γ

est le coefficient de frottement et

η

le bruit (

η=0

et

η(t)η(s)=2kBTγδ(ts)

), Je veux trouver la corrélation

C(t,s)=X(t)X(s)

et la fonction de réponse

g(t,s)=δX(t)δη(s)

.

Je trouve que, puisque

X(t)=0tv(s)s

(

X0=0

pour la simplicité),

C(t,s)=1γ20tu0svη(u)η(v)=1γ0s0suv2kBTδ(uv)=2kBTγs,

où j’ai considéré

t>s

.

Je trouve aussi, à partir de l’équation de Langevin,

δδη(s)γX(t)t=δη(t)δη(s)=δ(ts),

puis

sϵs+ϵtδX(t)δη(s)t=sϵs+ϵ1γδ(ts)=1γ

et

δX(t)δη(s)|ts+=1γetδX(t)δη(s)|ts=0(par causalité).

Par conséquent, dans la discontinuité, je choisis la moitié de la valeur pour positifs

s

:

12γ

.

ensuite

g(t,s)=12γ=12γ.

Maintenant, je veux vérifier le théorème de fluctuation-dissipation, qui dans ce cas, je crois, se lit

sC(t,s)=kBTg(t,s).

De toute évidence, le problème est que

sC(t,s)=2kBTγ

, tandis que

kBTg(t,s)=kBT2γ

.

Est-ce que je fais quelque chose de mal? N’est-ce pas bizarre que

C(t,s)

ne dépend pas de

t

? Le théorème de fluctuation-dissipation ne devrait-il pas être satisfait?

Réponses


 Tom-Tom

Utilisons la définition

η(s)η(t)=Γγ2δ(ts)

. Tout d’abord,

C(s,t)

dépend de

t

parce que

C(s,t)=Γmin(s,t).

Il ressort clairement de la causalité que

δX(t)δη(s)=0

si

t<s

. Si

t>s

, calculer la différence

δX(t)

causée par deux réalisations de bruit qui ne diffèrent qu’à l’instant

s

d’un montant

δη

. Cela signifie que

δη(t)=δηδ(ts)

. Alors vous avez

δXt=γ1δηδ(ts)


et donc

δX(t)=γ1δη

pour

t>s

, ce qui signifie que

δX(t)δη(s)=1γΘ(ts).

Maintenant, nous calculons

Cs(s,t)=ΓΘ(ts).

Donc, cela correspond au théorème de fluctuation-dissipation si

Γ=1γouη(s)η(t)=γδ(ts).

La valeur de

Γ

que vous avez proposé,

2kBTγ

, n’a pas de sens ici, puisque la particule n’a pas de masse, elle n’a pas d’énergie cinétique
et il est donc impossible de la thermaliser.

Charlie

Je l’ai. J’ai implicitement utilisé

Charlie

Ok, ça marche avec

 

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