Équation géodésique de l’intégrale temporelle appropriée

Ryan Unger

Équation géodésique de l’intégrale temporelle appropriée


C’est quelque chose qui me dérange depuis un petit moment. La procédure habituelle que j’ai vue est d’écrire le bon moment comme l’intégrale de la ligne

τ=γτ


le long d’une courbe

γ

. Cette courbe qui minimise ceci est une géodésique (en supposant ici une connexion Levi-Civita). La définition

τ2=gμνXμXν

mène à

τλ=gμνXμλXμλ.


Donc, en utilisant
la règle standard pour faire des intégrales de ligne , nous avons

γτ=λjeλFgμνXμλXμλλ,


γ(λje),γ(λF)

sont les points de début et de fin de la courbe. On peut facilement vérifier qu’il s’agit d’un invariant de paramétrage. Il est standard de normaliser

γ


gμνXμτXντ=1.


Il semblerait donc que

γτ=λjeλFgμνXμλXμλλ=τjeτFτ=τFτje.


Ainsi

γ

ne joue même pas un rôle semble-t-il. Ainsi, lorsque nous introduisons une famille à un paramètre

{γε}

et prenons la dérivée variationnelle, nous obtenons 0 arbitrairement. Ce qui donne? Comment pouvons-nous faire varier cette intégrale sans changer les limites?

Réponses


 Qmechanic

Commentaires sur la question (v1):

  1. Notez tout d’abord qu’il n’y a pas de prescription canonique / unique pour attribuer des valeurs à

    τje

    et

    τF

    pour un chemin donné

    γ

    .

  2. En particulier, on ne suppose pas que

    τje

    et

    τF

    sont maintenus fixes pendant la variation.

  3. En revanche, les paramètres finaux

    λje

    et

    λF

    et les extrémités du chemin

    γje

    et

    γF

    , sont maintenus fixes pendant la variation.

  4. Seule la différence

    Δτ=τFτje

    est important. En réalité

    (1)Δτ = λjeλFλ gμν(γ(λ)) γ˙μ(λ) γ˙ν(λ)

    est le bon moment du chemin et précisément la fonction que nous voulons faire varier.

  5. Cette fonctionnel (1) ne dépend du chemin

    γ

    .

Ryan Unger

J’avais soupçonné 1. et 2. Mais cela soulève une autre question. Peut-on appliquer les méthodes standard d’Euler-Lagrange à une intégrale où les bornes changent? Sinon, la dérivation de Carroll ( Spacetime and Geometry, p. 107.) de l’équation géodésique n’est-elle pas fausse?

Qmécanicien ♦

@ 0celo7: La dérivation de Carroll est correcte en principe. Bien que: 1. Il semble oublier de mentionner que les paramètres des paramètres

Ryan Unger

Eq. 3,48 est

Qmécanicien ♦

1. Oui. 2.

Ryan Unger

Si

 

#de, appropriée, Équation, géodésique, L’intégrale, temporelle

 

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