Est-ce équivalent à dériver la loi de Gauss de distributions de sources discrètes et continues?

user153582

Est-ce équivalent à dériver la loi de Gauss de distributions de sources discrètes et continues?


J’ai vu deux dérivations de la loi de Gauss en électrostatique . Le premier suppose une distribution de charge discrète , le second une distribution continue:

  1. Utiliser la superposition

    E = i = 1 n E je ,

    E = je = 1 n E je ,

    pour que

    Ω E d UNE = i = 1 n Ω E je d UNE = i = 1 n ( q je ϵ 0 ) = Q t o t ϵ 0 .

    Ω E UNE = je = 1 n Ω E je UNE = je = 1 n ( q je ϵ 0 ) = Q t o t ϵ 0 .

    Ensuite, utilisez le théorème de divergence .

  2. Commencer avec

    E = 1 4 π ϵ 0 R 3 r r ( r r ) 3 ρ ( r ) d V ,

    E = 1 4 π ϵ 0 R 3 r r ( r r ) 3 ρ ( r ) V ,

    et utiliser le fait que

    r r ( r r ) 3 = 4 π δ 3 ( r r )

    r r ( r r ) 3 = 4 π δ 3 ( r r )

    conclure que

    E = ρ ϵ 0 .

    E = ρ ϵ 0 .

    Ensuite, utilisez le théorème de divergence .

Ma question est de savoir si les deux sont équivalents ou s’il y a une différence dans l’hypothèse que la source est discrète ou continue.

Je me trompe peut-être et vous pouvez utiliser (1) pour les distributions continues et (2) pour les distributions discrètes. De plus, (1) ne serait-il pas « plus » correct dans la mesure où il n’y a pas vraiment de distributions de charges continues dans la nature, et seulement les approximer comme telles?

Phoenix87

J’ai tendance à préférer le plus général 2., car vous pouvez revenir à 1. en prenant une distribution de charge donnée par des sommes de deltas de Dirac, chacune multipliée par la valeur de la charge au point de masse du delta.

user153582

C’est ce sur quoi j’étais un peu confus. Les fonctions delta n’ont-elles de sens qu’avec les intégrales, pas les sommes?

jinawee

Eh bien, la deuxième option pourrait être considérée comme bâclée, car elle utilise le delta de Dirac en dehors du contexte des distributions.

Sofia

@ user153582: les distributions sont équivalentes. Aucune crainte de la