Est-ce que deux points dans l’espace-temps de Minkowski déterminent une ligne unique?

bmcdanie

Est-ce que deux points dans l’espace-temps de Minkowski déterminent une ligne unique?


Deux points quelconques dans un espace euclidien déterminent une ligne unique, mais je ne savais pas si ce résultat était généralisé à l’espace-temps de Minkowski étant donné que ce dernier n’est pas un espace euclidien à 4 espaces, mais est à la place un espace euclidien à 3 espaces plus un quatrième dimension temporelle.

AccidentalFourierTransform

il est encore

knzhou

Oui

CuriousOne

Tant que vous comprenez que l’espace de Minkowski n’est pas un espace de coordonnées affines mais un espace tangent, tout va bien.

Réponses


 Valter Moretti

Partons de la notion d’ espace affine en nous concentrant ensuite sur l’euclidienne

3

-espace physique dimensionnel et enfin arriver à l’espace-temps de Minkowski.

Une affine (réelle) n

n

-l’espace dimensionnel est un triple

( UNE , , V )

, où

UNE

est un ensemble dont les éléments sont appelés points ,

V

est un vrai

n

-espace vectoriel dimensionnel et

: UNE × UNE V

est une carte associant une paire de points

P , Q UNE

avec un vecteur

P Q V

. Les exigences suivantes doivent être respectées.

  1. P Q + Q R = P R

    si

    P , Q , R UNE

    .

  2. Pour chaque

    P UNE

    et

    v V

    , il en existe exactement un

    Q UNE

    tel que

    P Q = v

    .

Ces exigences permettent de définir la notion de système de coordonnées cartésiennes sur

UNE

. Ce n’est rien d’autre qu’une carte bijective particulière

ψ : UNE R n

.

À cette fin, fixer une origine , c’est-à-dire un point préféré

O UNE

et un système d’axes , c’est-à-dire une base vectorielle

e 1 , , e n V

. La carte bijective

ψ : UNE n R n

est celui qui associe

P UNE

avec les composants

( X 1 ( P ) , , X n ( P ) ) R n

du vecteur

O P

par rapport à la base

e 1 , , e n V

.

Un exemple de

3

-espace affine dimensionnel est

R 3

lui-même. Cependant, cet espace a beaucoup plus de structure qu’un affine générique

3

-espace dimensionnel. Par exemple, un point préféré

( 0 , 0 , 0 )

et une base privilégiée, la canonique, de l’espace des traductions

V = R 3

. Pour ces raisons

R 3

n’est pas une bonne représentation mathématique de l’espace physique euclidien, dans un sens, il comprend trop de structure mathématique sans objets physiques correspondants. D’un autre côté, même un affine

3

– l’espace dimensionnel n’est pas adéquat pour décrire l’espace physique, car nous avons également besoin de structures métriques supplémentaires pour décrire correctement mathématiquement l’espace physique.

La structure appropriée pour décrire l’espace physique est la notion d’ espace euclidien .

Un euclidien n

n

-espace dimensionnel

E n

est un quadruple

( E , , V , < , > )

, où

( E , , V )

est un espace affine et

< , >: V × V R

est un produit scalaire symétrique défini positivement.

Cette structure sélectionne une fonction de distance préférée

: E × E [ 0 , + )

défini comme

( P , Q ) = < P Q , P Q > .

( P , Q ) = < P Q , P Q > .

Cette distance est, par construction, invariante en translation :

P Q = P Q

implique

( P , Q ) = ( P , Q )

.

La définition du système de coordonnées cartésiennes orthonormées est maintenant obtenue en spécialisant la notion de système de coordonnées cartésiennes dans le cas d’une base orthonormée

e 1 , , e n V

par rapport à

< , >

.

Pour

n = 3

,

E n

est juste le modèle de l’espace euclidien physique.

La notion de ligne (droite) est donnée dans un espace affine et, en fait, deux points distincts déterminent une ligne unique. Si

P , Q UNE

avec

P Q

, la ligne associée est

r = { R UNE | R Q = λ P Q λ UNE }

.

Comme vous le voyez, aucune notion métrique n’est nécessaire.

Venons-en finalement à l’espace-temps de Minkowski

M 4

qui diffère de former un espace euclidien uniquement dans les structures métriques.

Tout d’abord

M 4

est un

4

-espace affine dimensionnel, dont les points sont appelés événements .

(Déjà avec cette partie de la définition, la notion de ligne droite a un sens.)

Deuxièmement,

M 4

est équipé d’un produit scalaire lorentzien dans l’espace des traductions

V

. Ceci est une carte bilinéaire

< , >: V × V R

, qui est symétrique (

< u , v > = < v , u >

), non dégénéré (

< u , v > = 0

pour chaque

v V

implique

u = 0

) et avec signature lorentzienne (il y a des bases

e 1 , e 2 , e 3 , e 4

< , >

est représenté par la matrice

je une g ( 1 , 1 , 1 , 1 )

).


 Javier

Le concept de ligne est totalement indépendant du produit intérieur et fait sens pour un espace vectoriel général; mathématiquement, une ligne est un sous-espace affine à une dimension. Alors oui, deux points déterminent une ligne unique, tant que vous êtes dans un espace vectoriel plat. Si vous introduisez la courbure comme dans la relativité générale, les choses changent.

La seule différence avec un espace 3D normal est que votre ligne dans l’espace Minkowski peut correspondre à un mouvement plus rapide que la lumière, ce qui ne serait pas physique si vous voulez qu’un objet physique suive la ligne. Mais le concept mathématique de la ligne elle-même est parfaitement bien défini.

bmcdanie

S’ensuit-il que, dans tout espace-temps courbe (c’est-à-dire dans tout espace 3D non euclidien * plus la quatrième dimension temporelle), ce n’est pas le cas que deux points déterminent une ligne unique? (* J’exclus l’espace hyperbolique 3D dans lequel, comme l’espace euclidien 3D, deux points déterminent également une ligne unique.)

AccidentalFourierTransform

@bmcdanie prend deux points antipodaux quelconques d’une sphère. Tout grand cercle qui les relie sera une « ligne » (c’est-à-dire une géodésique ).

bmcdanie

C’est vrai, mais je ne suppose pas que chaque espace (temps) courbe est uniformément sphérique.

Blazej

Ce n’est qu’un contre-exemple. AFT a supposé la géométrie sphérique pour les besoins de l’argument, mais la même chose peut se produire dans un espace-temps incurvé générique.

 

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