Exercice lagrangien de Goldstein

Le chat de Schrödinger

Exercice lagrangien de Goldstein


Question 14 du 1er chapitre du livre de H.Goldstein « Mécanique classique »:

Q: Deux points de masse

m

sont réunis par une tige rigide en apesanteur de longueur

l

, dont le centre est contraint de se déplacer sur un cercle de rayon

une

. Exprimer l’énergie cinétique en termes de coordonnées généralisées.


Ma compréhension du problème me dit que le système a seulement

1

degré de liberté,

θ

, puisque le centre de masse se déplace dans un cercle de rayon fixe dans un plan fixe. Il ne doit donc y avoir qu’une seule coordonnée généralisée. Maintenant, si je considère que les vecteurs de position du

2

les masses ponctuelles sont

r 1

et

r 2

respectivement, les contraintes du système sont

| r 2 r 1 | = l

| r 2 r 1 | = l

r 2 + r 1 2 = a

| r 2 + r 1 2 | = une

Mais je ne peux pas trouver la coordonnée généralisée à partir d’ici. Pouvez-vous me dire si j’ai raison sur les degrés de liberté du système? Et suis-je sur la bonne voie? Comment dois-je procéder?

De plus, une autre chose est qu’il n’y a rien d’écrit si les masses tournent autour de leur centre de masse. Dois-je en faire un cas spécial?

Sanya

il y a 2 degrés de liberté (si je comprends bien), je commencerais moi-même par paramétrer les positions possibles du centre de la tige puis les positions possibles des masses vues du centre de la tige et progresser à partir de là.

Lewis Miller

Le problème ne dit pas que le centre de la tige est contraint de se déplacer sur un cercle à consta

physicopathe

Je suis d’accord avec le commentaire précédent. Il y a deux degrés de liberté. Premièrement, le mouvement circulaire d’un cercle de rayon a et deuxièmement, la rotation des masses autour de leur centre de masse (comme vous l’avez suggéré).

Lewis Miller

Suite: vitesse, donc deux coordonnées généralisées. Les masses sont des points, donc pas de rotation.

garype

La question n’indique pas explicitement que la tige est libre de tourner autour de son centre, mais je pense que c’est l’intention. Je suppose également que toute la motion est dans un seul plan. Je pense que cette question a besoin d’être forgée.

Réponses


 Marco Ridenti

Ce problème, comme la plupart des problèmes de la « Mécanique classique » de Goldstein, doit être soigneusement analysé. Ce n’est pas facile.

Cela dit, je veux proposer une solution à ce problème. La question initiale portait sur le nombre de degrés de liberté. Nous allons y arriver et aussi écrire l’expression complète de l’énergie cinétique.

Nous avons deux particules. En trois dimensions, sans contraintes, le nombre de degrés de liberté est

n = 2 3 = 6

. On peut se demander maintenant combien de contraintes il y a. Avant de répondre à cette question, rappelons-nous que tout système de deux particules peut être décrit par le vecteur centre de masse

R

, et les positions par rapport au centre de masse, que nous pouvons appeler

r 1

et

r 2

. Dans le cas général, l’énergie cinétique totale est donnée par le centre de masse de l’énergie cinétique plus l’énergie cinétique des particules par rapport au centre de masse, c’est-àdire

T = T C M + T 1 + T 2 = M 2 R ˙ 2 + m 1 2 r ˙ 2 1 + m 2 2 r ˙ 2 2

T = T C M + T 1 + T 2 = M 2 R ˙ 2 + m 1 2 r ˙ 1 2 + m 2 2 r ˙ 2 2

La masse des deux particules est égale et le centre de la tige est contraint de se déplacer en cercle. Par conséquent, le centre de masse (CM) coïncide avec le centre de la tige et il est également contraint de se déplacer dans un cercle. Le CM peut être décrit par une seule variable, l’angle

Θ

par rapport à un axe fixe – disons

X

– dont l’origine est fixée au centre de la trajectoire circulaire. Si le CM est limité à un mouvement circulaire, cela revient à dire que sa trajectoire est limitée à un plan (-1 degré de liberté) dans une trajectoire circulaire (-1 degré de liberté). Il nous reste donc

n = 6 2 = 4

degrés de liberté.

le

X , Oui , Z

les coordonnées du centre de masse peuvent être facilement écrites comme

R = ( un cos Θ , un péché Θ , 0 )

R = ( une cos Θ , une péché Θ , 0 )

Le dériver par rapport au temps nous donne la vitesse

R ˙ = ( a Θ ˙ péché Θ , un Θ ˙ cos Θ , 0 )

R ˙ = ( une Θ ˙ péché Θ , une Θ ˙ cos Θ , 0 )

Nous pouvons maintenant calculer maintenant l’énergie cinétique du centre de masse

T C M = M 2 ( X 2 ˙ + Y 2 ˙ + Z 2 ˙ ) = M 2 R 2 Θ ˙ 2 .

T C M = M 2 ( X 2 ˙ + Oui 2 ˙ + Z 2 ˙ ) = M 2 R 2 Θ ˙ 2 .

Analysons maintenant le mouvement des particules par rapport au CM. L’énoncé de la question ne limite pas les particules à un mouvement plan, nous devons donc considérer la tige qui les relie pour se déplacer dans un espace 3D. La contrainte élimine un degré de liberté supplémentaire, nous nous retrouvons donc avec

n = 4 1 = 3

. Sauf si l’on restreint davantage le mouvement de la tige à un plan, le système a exactement

n = 3

degrés de liberté. Cela répond à votre question, mais calculons maintenant l’énergie cinétique.

Le mouvement des particules par rapport au CM peut être décrit par des coordonnées sphériques renvoyées à une trame dont l’origine est centrée au CM. Définissons donc un

X , y , z

cadre dont l’origine est au CM et dont l’orientation est égale à celle définie précédemment

X , Oui , Z

Cadre. Les positions

r 1

et

r 2

peut être écrit comme

r 1 , 2 = ( l 2 péché θ 1 , 2 cos ϕ 1 , 2 , l 2 péché θ 1 , 2 péché ϕ 1 , 2 , l 2 cos θ 1 , 2 cos ϕ 1 , 2 )

r 1 , 2 = ( l 2 péché θ 1 , 2 cos