Existe-t-il un moyen simple de traiter l’oscillateur harmonique anisotrope?

user1620696

Existe-t-il un moyen simple de traiter l’oscillateur harmonique anisotrope?


En mécanique quantique, nous pouvons traiter l’oscillateur harmonique unidimensionnel en utilisant l’astuce des opérateurs d’échelle. Dans ce cas, l’hamiltonien d’origine est

H=12mP2+mω22X2

et lors de la définition des opérateurs

une=12(X^2+jeP^),une=12(X^2jeP^2)

avec

X^=mωX

et

P^=1mωP

nous pouvons écrire

H=ω(uneune+12)

et le problème peut être traité en utilisant uniquement les opérateurs d’

une

et

une

et leur produit. Maintenant, sur un exercice, l’auteur demande de trouver les vecteurs propres et les valeurs propres de l’hamiltonien pour l’oscillateur harmonique anisotrope en trois dimensions, où le potentiel est

V(X,Oui,Z)=mω22[(1+2λ3)(X2+Oui2)+(14λ3)Z2].

Le hamiltonien pour cela semble assez compliqué, mais j’imagine qu’il y a une astuce comme le cas unidimensionnel qui simplifie beaucoup le problème. Existe-t-il un moyen de réduire cela au cas unidimensionnel?

Comment traiter l’oscillateur harmonique anisotrope tridimensionnel en mécanique quantique sans trop compliquer le problème?

Réponses


 Praan

Le potentiel

V(X,Oui,Z)

correspond à trois oscillateurs harmoniques non couplés avec

ωX=ωOui=ω1+2λ3,ωZ=ω14λ3.


Les oscillateurs étant découplés, l’équation de Schroedinger est séparable et les paniers propres peuvent donc s’écrire

|ψ=|nX|ny|nz

comme mentionné par dmckee dans les commentaires. Le spectre d’énergie peut maintenant être trouvé directement en définissant trois ensembles d’opérateurs de création et d’annihilation qui agissent chacun sur l’un des

|nje

.

Notez que

32<λ<34

, sinon au moins un des potentiels de l’oscillateur est inversé et il n’y a pas d’états liés dans ce cas.

dmckee ♦

Il pourrait être utile de mentionner explicitement que l’hamiltonien proposé est séparable, afin que la solution puisse être écrite

 

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