Exprimer le tenseur d’intensité de champ de jauge en termes de dérivées covariantes du potentiel vectoriel

glS

Exprimer le tenseur d’intensité de champ de jauge en termes de dérivées covariantes du potentiel vectoriel


Écriture de la dérivée covariante comme

μ = μ je g UNE μ (1)

(1) μ = μ je g UNE μ

il est facile de montrer que (dans le cas non abélien)

[ D μ , D ν ] = je g ( μ UNE ν ν UNE μ ) g 2 [ A μ , A ν ] . (2)

(2) [ μ , ν ] = je g ( μ UNE ν ν UNE μ ) g 2 [ UNE μ , UNE ν ] .

En utilisant cette expression, nous pouvons définir un tenseur d’intensité de champ

F μ ν

qui généralise l’expressiong trouvée dans QED pour les symétries de jauge abéliennes comme

F μ ν i g [ D μ , D ν ] = μ UNE ν ν UNE μ je g [ A μ , A ν ] . (3)

(3) F μ ν je g [ μ , ν ] = μ UNE ν ν UNE μ je g [ UNE μ , UNE ν ] .

D’après le principe de la règle générale, il semble que nous devrions également être en mesure d’obtenir cette expression en faisant la substitution

μ μ

dans l’expression « sans interaction »

F ( 0 ) μ ν = μ UNE ν ν UNE μ . (4)

(4) F μ ν ( 0 ) = μ UNE ν ν UNE μ .

Cependant, comment est l’expression résultante

F μ ν = D μ UNE ν D ν UNE μ (5)

(5) F μ ν = μ UNE ν ν UNE μ

être interprété? En particulier, si je considère l’action habituelle de la dérivée covariante sur un champ dans la représentation adjointe (appelons-la

α

),

μ α μ α i g [ A μ , α ] ,

μ α μ α je g [ UNE μ , α ] ,

et utiliser le fait que

UNE μ une

est dans la représentation adjointe, je reçois

μ UNE ν D ν UNE μ = μ UNE ν ν UNE μ 2 i g [ A μ , A ν ]

μ UNE ν ν UNE μ = μ UNE ν ν UNE μ 2 je g [ UNE μ , UNE ν ]

qui est clairement décomposé par un facteur de 2. Quel est le problème dans cette résonance?

ACuriousMind ♦

Il n’y a rien de mal – la force du champ est en effet la dérivée covariante de jauge du champ de jauge. Vous devez avoir utilisé des définitions incohérentes pour le

glS

@ACuriousMind bien que cela semble être la solution la plus probable, il n’y a vraiment pas beaucoup de place pour les erreurs algébriques ici: j’ai essentiellement énoncé toutes les étapes de la publication. Il y a peut-être quelque chose de mal dans la façon dont j’ai interprété l’action de la dérivée covariante sur le potentiel vectoriel, à cet égard, j’ai moins confiance

ACuriousMind ♦

Je voulais dire qu’il n’y a pas d’erreur algébrique – il y a tellement de conventions différentes pour les signes et les préfacteurs ici que je suppose que l’une de vos définitions ne correspond pas aux autres. Résumé, désignant la dérivée de jauge extérieure par

glS

@ACuriousMind mais n’est pas le seul choix de convention

ACuriousMind ♦

Par exemple, l’action adjointe pourrait avoir un

Réponses


 Sam Gralla

J’étais juste confus à ce sujet moi-même, étudiant la théorie de la jauge non abélienne pour la première fois (depuis de nombreuses années). Donc, même si ce post a 4 ans, je vais y répondre pour aider les autres.

Le problème avec votre calcul est que UNE une μ

UNE μ une

ne se transforme pas dans la représentation adjointe (ou dans n’importe quel représentant). Ce n’est tout simplement pas covariant du tout, il n’y a donc aucun moyen de définir un dérivé covariant. Par contre, F une μ ν

F μ ν une

(défini avec le commutateur) se transforme en représentation adjointe.

La raison pour laquelle cela est déroutant est que vous trouvez souvent des déclarations selon lesquelles les champs de jauge se transforment dans le représentant adjoint. Cela n’est vrai que pour les transformations globales ( μ α une