Exprimer les états propres de L 2 L2 et L z Lz en termes des états propres cartésiens | n x n y n z⟩ | nxnynz⟩

Andrew Sparrow

Exprimer les états propres de L 2 L2 et L z Lz en termes des états propres cartésiens | n x n y n z⟩ | nxnynz⟩


Je veux exprimer les états propres dégénérés de l’oscillateur harmonique isotrope tridimensionnel écrit comme états propres de

L2

et

Lz

, en termes d’états propres cartésiens

|nXnynz

pour le premier état excité, mais je ne sais pas comment.

Je sais que le premier état excité est triple dégénéré:

nX=1

ou

ny=1

ou

nz=1

, donc

nnX+ny+nz=1

. Étiqueter l’état sphérique

|nm

, puisque nous savons que

Lz=je[uneXuneyuneXuney]

, nous avons

nXnynz|Lz|nm=mnXnynz|nmnXnynz|Lz|nm=jenXnynz|[uneXuneyuneXuney]|nm


qui conduit à

mnXnynz|nm=je(nX+1)nynX+1ny1nz|nmjenX(ny+1)nX1ny+1nz|nm


Donc,

m100|nlm=je010|nlmm010|nlm=+je100|nlmm001|nlm=0


De plus, nous pouvons décomposer

|nlm

dans

|nXnynz

base

|nlm=nXnynz|nXnynznXnynz|nlm


Ainsi, par exemple, je veux décomposer

|111nm


|111=|100100|111+|010010|111+|001001|111=|100100|111+|010(je100|111)=(|100+je|010)100|111

mais je suis coincé ici. Je ne sais pas comment arriver au résultat

|111=12|100+je2|010


D’une certaine manière

100|111

évalue à

1/2

.

Merci beaucoup d’avance.

Réponses


 Alexander McFarlane

Vous savez que la normalisation du produit intérieur est de 1, c’est-à-dire

nlm | nlm=1

vous pouvez utiliser ces informations pour trouver la valeur de

nX=1ny=0nz=0 | n=1l=1m=1

comme,

111|111=1


en vous laissant une partie de l’algèbre dans le cadre de l’exercice *, vous obtiendrez,

1=(1+1)|100 | 111|2

puis la résolution vous donne l’élément de transition pour

100 | 111=1/2

rappelez-vous

|ϕ=ϕ|

ainsi que les conditions d’orthogonalité lorsque « bra » et « ket » sont sur la même base.

 

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