Exprimer l’état sous forme de paniers propres

Gel

Exprimer l’état sous forme de paniers propres


C’est très basique mais je me suis soudainement embrouillé. Tout état peut être exprimé comme un ensemble complet de paniers propres avec des valeurs propres discrètes:

|P=ncn|pn

Je comprends ce qui précède. Mais quand on passe de là à une valeur propre continue, pourquoi

|P=pF(p)|p

Quelle est la signification du temps a

p

puis résumer? Est-ce que cela signifie avec une valeur propre continue avec une plage

(une,b)

,

|P=bunecn|pn ?

(Les kets discrets et continus sont orthogonaux entre eux et forment un ensemble complet pour l’état.)

Sanya

À mon avis, la question de la bonne mesure intégrale pour les spectres continus n’est pas fondamentale;) Considérez que le fait qu’un ensemble de vecteurs propres soit ou non une base dépend de la considération de Hilbertspace (qui n’est généralement pas définie en physique).

Qmécanicien ♦

Réponses


 Emilio Pisanty

Votre deuxième équation n’est pas tout à fait juste. Si vous disposez d’un ensemble d’états complet et continu

{|p}

, puis l’expansion correcte d’un état arbitraire donné

|P

dans cette base est de la forme

(1)|P=pF(p)|p,


avec une seule fonction arbitraire

F(p)

sur la variable d’indexation

p

comme coefficient (continu). Ici le

p

dénote l’intégration sur

p

comme d’habitude.

La question de savoir ce que signifie réellement cette intégrale et comment elle est définie n’est pas un sujet mathématique particulièrement simple. En substance, vous prenez une fonction qui prend

pF(p)|p

, de sorte qu’il prend des nombres réels en vecteurs d’état,

RH

, et l’intégration de fonctions vectorielles n’est pas particulièrement facile lorsque l’espace vectoriel est un espace énorme comme

L2(R)

. Si vous voulez le faire correctement, vous avez besoin d’une analyse fonctionnelle assez volumineuse et de mesurer des côtelettes théoriques pour bien faire les choses.

La partie intéressante est que la réponse se résume principalement à « il suffit de le faire composant par composant ». Plus précisément, dites que vous voulez fournir une bonne définition de

(1)

. Ensuite, vous choisissez d’abord une base pour l’espace, par exemple, la représentation de position

{|X}

, puis vous projetez les deux côtés pour faire avancer le composant

|X

:

(2)X|P=pF(p)X|p.


Il s’agit en fait d’une intégrale beaucoup plus facile à définir, car vous avez simplement une fonction à valeur complexe d’une variable réelle,

pF(p)X|p

, Où

X|p

est une fonction connue, donc l’intégrale dans

(2)

se replie dans les intégrales que nous savons déjà définir. (En pratique, vous voulez utiliser l’ intégrale de Lebesgue plutôt que les sommes de Riemann, mais c’est pour cela que vous vous souciez des considérations théoriques de mesure.) Si vous avez tout fait correctement et que toutes vos fonctions sont assez agréables, cela fonctionnera, et vous donne le même vecteur

|P

quelle que soit la représentation que vous utilisez pour le calculer.

adouci

N’est-ce pas (2) la définition réelle de (1)? A savoir, (1) est la (seule) expression telle que (2) est ce qu’elle doit être. De plus, on ne choisit pas l’intégrale de Lebesgue, elle émerge automatiquement lors de l’écriture des Projection Valued Measures, n’est-ce pas?

Emilio Pisanty

@Gennaro Oui, (1) est la seule expression avec cette propriété, mais comment intégrez-vous des fonctions qui prennent des valeurs dans l’espace Hilbert? De même, dire que l’intégrale de Lebesgue « émerge automatiquement » d’une autre construction entièrement basée sur la mesure de Lebesgue est un peu circulaire.

Gel

Ma question était de savoir comment chasser le continu du discret. Je ne comprends tout simplement pas d’où vient le continu

Emilio Pisanty

@Frost Pour être honnête, il est difficile de répondre sans savoir où vous en êtes. La plupart des manuels d’introduction à la gestion de la qualité passent un peu de temps à expliquer cela, et un autre bon endroit pour regarder est la justification de la transformée de Fourier comme limite de la série de Fourier pendant de très longues périodes. (Passer de la justification de base à une représentation arbitraire est trop large pour ce format.) Avez-vous examiné ces ressources? Avez-vous une question plus concrète que simplement « Je suis confus » sans dire exactement de quoi vous êtes confus?

Gel

Oh désolé a propos de ca. Je sais que c’est la même idée de la transformation de Fourier de la série. Je viens de me demander comment obtenir l’intégrale de la première série. Quel est le processus logique? Je pense que je connais une bonne quantité de qm, mais je suis une personne stupide, alors soyez indulgents Les deux expressions ont la même logique non? (État express comme combinaison linéaire de paniers propres?) Donc, pour un nombre infini de paniers propres, nous devons « compresser » chaque ket à l’infini petit pour que l’état ne saute pas? Est-ce le sens de dp dans l’intégrale? Avec le coefficient devant le ket c’est comme le « poids » de chaque paniers propres pour construire l’état?


 Gel

Ok je pense que je manque une chose vraiment importante. en express discret. J’utilise apprêté pour discret et umprimed pour continu

|P=n|pn

|p

est différent du continu. en cas de position, le marché propre discret est probabilité mais pour continu, sa densité de probabilité. pour continu

|pp

est une analogie avec

|p

en discret. Donc, si vous exprimez l’express d’un continu en termes de somme

|P=p|p=|pplimnn|pn


tout comme créer une fonction delta discrète à partir continue

δmn=δ(mn)une


avec

δ(mn)=δmnune

, qui est « grand » et est une analogie avec la densité de probabilité ket.

δmn

est une analogie avec le probablity ket. Je suis vraiment désolé d’avoir soulevé cette question, je suppose automatiquement que les deux paniers propres ont la même signification physique qui ne l’est pas. (les gens ont tendance à ne pas changer la lettre quand ils expriment la lettre continue.) Il s’agit donc vraiment de l’idée de prendre une limite pour construire une intégration et un abus de symbole. Merci à tous pour l’aide et désolé à nouveau pour cette question trival.

 

(sous, #de, exprimer, forme, l’État, paniers, propres

 

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