Fonctions spectrales en mécanique quantique

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Fonctions spectrales en mécanique quantique


Je suis un étudiant en mathématiques et un tout nouveau venu en mécanique quantique et j’essaie de m’enseigner ce sujet en étudiant les conférences de Faddeev et Yakubovski sur la mécanique quantique pour les étudiants en mathématiques.

Le paragraphe suivant apparaît aux pages 49-50 du livre.

Pour tout opérateur auto-adjoint, il existe une fonction spectrale

P UNE ( λ )

, c’est-à-dire une famille de projections avec les propriétés suivantes:

Un vecteur

ϕ

appartient au domaine de l’opérateur

UNE

si

λ 2 ( P UNE ( λ ) ϕ , ϕ ) < ,

λ 2 ( P UNE ( λ ) ϕ , ϕ ) < ,

puis

A ϕ = λ P UNE ( λ ) ϕ .

UNE ϕ = λ P UNE ( λ ) ϕ .

J’ai vu la construction de

P UNE ( λ )

pour le cas de dimension finie comme

θ ( λ UNE )

θ

est la fonction Heaviside. cependant,

  1. Je me demande si la raison pour laquelle les auteurs disent « il y a une fonction spectrale
  2. Les intégrales sont-elles simplement des conséquences des éléments 1 à 4? (Le livre n’explique pas le sens de

Toute aide aux clarifications est grandement appréciée!

Urgje

Vous apprécierez probablement une approche un peu plus mathématique (à propos, il existe un certain nombre de façons de traiter le problème de décomposition spectrale). Je suggérerais de jeter un coup d’œil aux quatre volumes « Méthodes de physique mathématique moderne » de Read et Simon ainsi que « La perturbation de la théorie des opérateurs linéaires » de Kato.

CuriousOne

Juste pour que ce soit absolument clair … ce que vous apprenez là-bas n’est pas la mécanique quantique mais la théorie de l’opérateur. Les calculs ci-dessus ont une conséquence presque nulle pour la physique réelle.

snulty

@Urgje Bonnes recommandations, mais puis-je ajouter qu’il y a un beau livre intitulé « Introduction à l’espace Hilbert et à la théorie de la multiplicité spectrale » de Halmos, qui parle de l’idée de mesures spectrales.

Urgje

Oui, je l’ai en fait. C’est cependant un niveau assez élevé.

Réponses


 Martin

Cela n’a rien à voir avec la physique, mais c’est une pure analyse fonctionnelle.

Ce que vous avez ici n’est rien d’autre qu’une version légèrement alambiquée du théorème spectral , qui est formulée pour tous les opérateurs auto-adjoints (bornés ou non bornés). Il est légèrement alambiqué, car il inclut les définitions nécessaires de la mesure spectrale dans le théorème lui-même – je les verrais généralement définies à l’avance.

Comprendre comment ce théorème se produit n’est pas trivial, car le spectre d’un opérateur (éventuellement non) borné en dimensions infinies contient des parties qui ne sont pas des valeurs propres (spectre continu). La façon dont vous construisez

P

et définir

P

au moins pour les opérateurs bornés, c’est la même chose que pour les mesures arbitraires dans la théorie des mesures et / ou la théorie des probabilités. Pour les opérateurs illimités, vous devez faire attention aux problèmes de domaine.

Rappelez-vous la théorie des probabilités? Si vous avez une mesure discrète

p je

, une valeur d’attente d’une variable aléatoire

X

n’est rien d’autre que

je X je p je

. Si vous avez une mesure continue

μ

, la valeur d’attente sera donnée par quelque chose comme

X μ

. C’est la même chose ici: étant donné une matrice auto-adjointe (ou un opérateur compact), le théorème spectral lit

UNE v = je λ je v je , v v je

v je

sont les vecteurs propres et

λ je

les valeurs propres. Votre dernière expression pour

UNE ϕ

est la contrepartie continue. Une autre complication qui se pose ici est que vos mesures ne sont pas des valeurs réelles ou complexes, mais des valeurs d’opérateur contrairement aux mesures habituelles.

Si vous voulez, je peux essayer d’ajouter une esquisse grossière de la façon de prouver le théorème.

EPS

Merci pour la clarification, Martin. Je pense que maintenant je peux voir le lien entre la version de dimension finie

Urgje

En aparté. Le sujet des mesures spectrales a été étudié pour les opérateurs sur les espaces plus généraux de Banach par Dunford et Schwartz dans le troisième volume de leurs « Opérateurs linéaires ». Il s’est avéré que maintenant les générateurs de groupes continus normatifs (opérateurs auto-adjoints dans l’espace de Hilbert) et les opérateurs définis au moyen d’une mesure spectrale ne coïncident généralement pas. Ceci est regrettable car il exclut une technique puissante pour traiter les opérateurs de densité qui sont des éléments de la classe trace, un espace Banach mais pas un espace Hilbert.

 

#en, Fonctions, mécanique, quantique, spectrales

 

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