Formalisme et représentation en mécanique quantique

user35952

Formalisme et représentation en mécanique quantique


Je suis simplement curieux de connaître le formalisme de la mécanique quantique de base. Prenons par exemple le système d’un spin-

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particule. L’état de la particule est décrit par un vecteur dans un espace de Hilbert abstrait bidimensionnel (disons

H

). L’ensemble des Endomorphismes sur

H

former un groupe (qui je l’espère sera le

S U ( 2 )

groupe). Maintenant, je vais juste définir une carte abstraite Endomorphic dans

H

, tel que

σ ^ z : | + | + | | | -⟩ | -⟩

σ ^ z : | + | + | | | |

| + , | H

De toute évidence, l’opérateur

σ ^ z

est hermitien et les vecteurs propres sont orthonormés et peuvent donc être choisis comme ensemble de base. Par conséquent, tout vecteur arbitraire peut être développé à ce sujet.

| ψ⟩ = c + | + + C | -⟩    où est-il    C c ± = ± | ψ⟩

| ψ = c + | + + c | w h e r e C c ± = ± | ψ

Maintenant, d’après ce que j’ai appris jusqu’à présent, je vois en quelque sorte que je peux construire une carte appelée Représentation

R

tous ces éléments pour

H

est mappé à

C 2

R : H C 2 | R ( | ψ⟩ ) = ( c + c )

R : H C 2 | R ( | ψ ) = ( c + c )

Cette carte de représentation préserve aussi le produit intérieur je crois. Par exemple,

⟨Φ | ψ⟩ ( d + ) ( c + c ) C

ϕ | ψ ( + ) ( c + c ) C

De plus, les opérateurs peuvent également être mappés par cette carte de représentation, où les opérateurs abstraits sont mappés à des matrices carrées.

R : Fin ( H ) Fin ( C 2 ) | R ( A ^ ) = ( + | A ^ | + ⟨- | UNE ^ | + + | UNE ^ | -⟩ ⟨- | UNE ^ | -⟩ )

R : Fin ( H ) Fin ( C 2 ) | R ( UNE ^ ) = ( + | UNE ^ | + + | UNE ^ | | UNE ^ | + | UNE ^ | )

Avec cette configuration, les matrices de Pauli et l’irrep 2D du vecteur correspondent toutes à cette carte

R

droite ? Donc, toutes ces choses correspondent à une représentation construite en utilisant les vecteurs propres de

σ z

?

Je souhaite également savoir comment établir un tel lien dans les cas de base de poste, notamment entre

| X

et

L 2

les espaces.

PS: Je sais que cette question est la moins utile à une communauté particulière de chercheurs ou même à des personnes qui apprennent, mais cela vient de ma curiosité. Excusez-moi si c’est une question très ridicule.

Réponses


 ACuriousMind

Pour la relation entre la base de la position abstraite et la

L 2

espaces, je vous renvoie à ma réponse ici (lisez les autres réponses aussi, elles sont bonnes;))

Vous êtes assez proche de votre compréhension des représentations, mais pas tout à fait là:

Tout d’abord, pour le spin 2-dim.

1 2

Espace Hilbert

H ↑ ↓

, l’ensemble des endomorphismes

E n ( H ↑ ↓ )

n’est pas

S U ( 2 )

, mais l’ensemble des matrices 2D, c’est-à-dire

C 2 × 2

. En effet, chaque espace de dimension de Hilbert de dimension finie

n

est avant tout un espace vectoriel complexe, et tous ceux-ci sont isomorphes à

C n

.

Maintenant, une représentation d’un groupe donné

g

sur n’importe quel espace

V

est juste un homomorphisme

ρ : g UNE u t ( V )

. Puisque nous avons l’inclusion

S U ( 2 ) C 2 × 2

, l’espace

H ↑ ↓

est livré pré-équipé avec une représentation de

S U ( 2 )

. Depuis

S U ( 2 )

est un groupe de Lie , il a des générateurs qui se trouvent dans son algèbre de Lie, et chaque représentation

ρ

du groupe de Lie induit une représentation

ρ : L je e UNE l g ( g ) E n ( V )

de l’algèbre (et vice versa, avec quelques mises en garde).

[Les groupes de mensonges sont des choses étonnantes et très fondamentales pour la physique théorique, en particulier la compréhension des symétries. Je vous conseille d’essayer d’en apprendre plus à ce sujet que je n’en dirai ici.]

Les trois générateurs de

S U ( 2 )

sont canoniquement dénotés

σ X , σ y , σ z

. Vous pouvez maintenant choisir des vecteurs propres (par exemple)

ρ ( σ z )

sur

H ↑ ↓

et utilisez-les comme base. Si vous appelez ces vecteurs propres