Forme explicite des générateurs d’opérateurs de traduction du groupe Poincaré?

Anon Ymous

Forme explicite des générateurs d’opérateurs de traduction du groupe Poincaré?


Laisser

P 0

être le générateur de traduction temporelle et

P 1 , P 2 , P 3

être pour les traductions spatiales. Laisser

p μ

être l’opérateur de momentum dans le

X μ = X μ

direction. J’ai regardé une conférence où le gars a dit que

P μ = p μ = je η μ ν ν

(tout est en unités planck pour plus de simplicité et

η μ ν

est le

( + , , , )

Minkowski métrique) et pour

μ = 0 , P = H

H

est l’opérateur hamiltonien (ce qui me semble logique à cause de l’équation de Schrodinger). Mais, avec un peu de recherche sur wikipedia, j’ai trouvé que l’opérateur de traduction spatiale est

T = exp ( je X μ p μ )

et l’opérateur de traduction temporelle est

T = exp ( je H t )

. Les générateurs de traduction du groupe Poincaré ne devraient donc pas être

P μ = i η μ ν X μ p ν   ?

P μ = je η μ ν X μ p ν ?

Qu’est-ce que j’oublie ici?

AccidentalFourierTransform

qu’est-ce que  » dans le X μ = x μ

X μ = X μ

direction « signifie? (les indices ne correspondent pas)


Anon Ymous

Je ne pensais pas que les coordonnées soient covariantes ou non importerait dans ce contexte. Je dis que p_u est l’opérateur de moment pour la direction x_u et que les coordonnées contravariantes sont équivalentes aux coordonnées covariantes. Dois-je avoir mieux suivi mes indices là-bas?

AccidentalFourierTransform

À mon humble avis, vous auriez dû écrire  » dans le X μ

X μ

direction « ou » dans le X μ

X μ

direction « (celle que vous aimez le plus), mais sans

=

signe. Ce n’est pas pertinent pour la question, de toute façon, alors n’y pensez pas trop.


udrv

La réponse de @AnonYmous Accidental vous indique comment, mais en règle générale, gardez à l’esprit que les générateurs génèrent différentes transformations pour différentes valeurs du paramètre de déplacement. Si vous incluez le paramètre dans le générateur, comment pourraient-ils générer des transformations différentes?

Qmécanicien ♦

Commentaire sur le post (v2): Les indices ne correspondent pas dans le dernier eq.

Réponses


 AccidentalFourierTransform

Laisser

| X

être un élément de la base du poste. Définir l’opérateur de traduction

T ( une )

comme

| x + a⟩ T a ) | x⟩ (1)

(1) | X + une T ( une ) | X

pour tout vecteur

une μ

. Comme

T

est unitaire, il peut s’écrire

T ( a ) = I i a μ P μ (2)

(2) T ( une ) = je je une μ P μ

pour un hermitien

1

les opérateurs

P μ

. Si nous développons le lhs

( 1 )

à l’ordre linéaire dans

une

(juste une extension Taylor) nous obtenons

| x + a⟩ = | x⟩ + a μ μ | x⟩ + O ( a 2 ) (3)

(3) | X + une = | X + une μ μ | X + O ( une 2 )

D’un autre côté, si nous élargissons le

( 1 )

à l’ordre linéaire dans

une

, on a

T a ) | x⟩ = | x⟩ i a μ P μ | x⟩ (4)

(4) T ( une ) | X = | X je une μ P μ | X

qui, par rapport à

( 3 )

signifie que

P μ = i μ (5)

(5) P μ = je μ

Par conséquent, l’opérateur de momentum est

P μ = je μ

(dans la base du poste), et l’opérateur de traduction est

T ( a ) = e je μ P μ = e une μ μ (6)

(6) T ( une ) = e je une μ P μ = e une μ μ

Alors, qu’est-ce que

T ( X ) = e je X μ P μ

signifier? Eh bien, c’est juste l’opérateur de traduction

( 6 )

, dans le cas particulier

une μ = X μ

c’est-à-dire que nous nous déplaçons par le vecteur

X

. Notez que ce n’est qu’un cas spécifique de

( 6 )

, qui est parfois utilisé dans QFT; par exemple, si

Φ ^ ( X )

est un champ (opérateur), vous pouvez relier sa valeur à tout

X

avec la valeur à

X = 0

à travers

Φ ^ ( X ) = T ( X ) Φ ^ ( 0 ) T ( X )

. Dans certains cas, cela est utile, par exemple pour prouver que le vev

2

de n’importe quel champ est juste une constante (c’est-à-dire indépendante de la position). De toute façon, le fait qu’on puisse écrire

T ( X )

ne change pas la forme du générateur de

T

, ce qui signifie que l’opérateur de moment est toujours donné par

( 5 )

.


1

auto-adjoint, je sais …

2

vev = valeur d’espérance de vide =

ACC | Φ ^ ( X ) | ACC

 

#de, d’opérateurs, des, du, explicite, forme, générateurs, groupe., Poincaré?, traduction

 

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