Formulaire pour produit intérieur, exemple

user117640

Formulaire pour produit intérieur, exemple


Dans la géométrie, la topologie et la physique de Nakahara, le produit intérieur est défini comme suit:

jeX:Ωr(M)Ωr1(M).

XX(M)

et

ωΩr(M)

jeXω=1r!s=1rXμsωμ1μsμr(1)s1Xμ1Xμs^Xμr.

Je ne peux pas comprendre cela. Quelqu’un peut-il me donner un exemple concret? Comment

jeeX(Xy)=y

regarder explicitement?

Robin Ekman

Le

user117640

Oui, il est mentionné dans le texte, mais je ne l’ai jamais compris.

Robin Ekman

J’ai édité la question pour que

Réponses


 Robin Ekman

La formule donnée est horriblement peu éclairante car elle ne semble pas utiliser le fait fondamental des formes différentielles qu’elles alternent et ajoute donc

r

en termes égaux, il ne fournit pas non plus la connexion à la notation d’index qu’il essaie soi-disant.

Comprenons d’abord l’idée du produit d’intérieur. Un

r

-form est quelque chose avec

r

emplacements pour les vecteurs qui sont linéaires dans chaque emplacement et changent de signe si vous échangez deux emplacements. Si vous mettez un champ vectoriel

X

dans le premier emplacement, ces propriétés continuent de tenir pour le

r1

emplacements qui restent; c’est

jeXω

. Il s’agit d’une définition sans coordonnées, alors voyons comment obtenir la formule de Nakahara.

Pour les calculs, compte tenu de toute base de formes

Xμ

, un

r

-form

ω

a l’expansion

(1)ω=ωμ1μrXμ1Xμr


où le

ωμ1μr

sont complètement antisymétriques. De toute évidence, le produit intérieur n’est qu’une contraction du premier indice .

Depuis

Xμ1Xμr

est lié à

Xμ1Xμr

par une antisymétrisation et une normalisation,

ω=1r!ωμ1μrXμ1Xμr

où le

r!

explique la normalisation. Étant donné que les formulaires sont généralement construits avec des produits en forme de coin, voici comment trouver les composants d’un formulaire. Maintenant, en utilisant (1) et le produit intérieur comme contraction sur le premier indice,

jeXω=Xαωαμ1μr1Xμ1Xμr1=1(r1)!Xαωαμ1μr1Xμ1Xμr1.

Mais depuis

ω

est en alternance, nous pourrions contracter sur tous les

r

indices et obtenir la même chose, à condition de garder une trace du signe, ce qui donne une somme avec

r

termes égaux. Pour compenser cela, nous avons

r

termes égaux, nous obtenons

jeXω=1r(r1)!sXμsωμ1μsμr(1)s1Xμ1Xμs^Xμr.


L’omission du

s

: e facteur dans le produit de coin est la contraction sur le

s

: th index. Le

(1)s1

vient de ce déplacement du

s

: le e facteur à l’avant donne

s1

signes moins, un pour chaque facteur qu’il doit dépasser.

Maintenant, pour l’exemple de

jeeX(Xy)

. On a

Xy=12(ω12Xy+ω21yy)=22ω12Xy

(en utilisant l’antisymétrie) donc évidemment

ω12=1

. Les composants de

eX

sont

(1,0,,0)

, donc en contractant sur le premier indice on obtient

y

.

user117640

salut merci pour votre réponse, mais que signifie la conclusion du premier indice ici? Utilisez-vous la définition de

Robin Ekman

Oui, dans le premier emplacement.

user117640

Ok, mais n’y a-t-il pas de moyen plus simple de le calculer?

Robin Ekman

On peut montrer que

 

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